2005　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】

(1)　設問(ⅰ)，(ⅱ)の最後の命題はその前にある複数の命題から導くことができるか？もしそうならば解答欄に$1$を，そうでないならば$0$を記入せよ．

(ⅰ)

1)　わたしの持ち物の中で，人形だけが陶器です．

2)　あなたから頂いたプレゼントはみな役に立ちます．

3)　わたしの人形はどれも役に立ちません．

4)　あなたから頂いたプレゼントの中で陶器でないものはありません．　解答欄：$\boxed{\text{(1)}}$

(ⅱ)　皿$\mathrm{A}$にわたしの芋がもってある．

1)　わたしの芋で新しいもの以外にゆがいたものはありません．

2)　皿$\mathrm{A}$にある芋はどれも食べられます．

3)　わたしの芋で，ゆがいていないものは食べられません．

4)　皿$\mathrm{A}$にある芋はみな古い．　　　　　解答欄：$\boxed{\text{(2)}}$

【１】

(2)　$16$都市が下図のように道路でつながっている．ある人が都市$\boxed{1}$から出発し，最初に都市$\boxed{12}$を訪問し，他の$14$都市をちょうど一度ずつ訪ねて戻る計画を立てた．この旅程を都市の番号でたどると次のようになる．

$1⟹12⟹\boxed{\text{(3)}}\boxed{\text{(4)}}⟹\boxed{\text{(5)}}\boxed{\text{(6)}}⟹\boxed{\text{(7)}}\boxed{\text{(8)}}⟹\boxed{\text{(9)}}\boxed{\text{(10)}}⟹\cdots ⟹1$

【２】

(1)　$y=a{x}^2\text{（}a>1\text{）}$と$y=x+1$で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\sqrt{1+\boxed{\text{(11)}}a}}{a}(\frac{1}{\boxed{\text{(12)}}a}+\frac{\boxed{\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}}})}$

である．

【２】

(2)　$x^3+px+q=0$が$3$個の異なる実数解をもつための必要十分条件は

$\boxed{\text{(15)}}{p}^3+\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}}{q}^2<0$

である．　

【３-1】　複素数平面で$w={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$と${\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}}$を通る直線は

$z=w+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(19)}}}}(\sqrt{\boxed{\text{(20)}}}+1-(\sqrt{\boxed{\text{(21)}}}+\sqrt{2})i)t\text{，}t$は実数

と表される．$t$を消去すれば

${\displaystyle \frac{z-w}{\sqrt{\boxed{\text{(22)}}}+1-(\sqrt{\boxed{\text{(21)}}}+\sqrt{2})i}=\frac{\bar{z}-\bar{w}}{\sqrt{\boxed{\text{(23)}}}+1+(\sqrt{\boxed{\text{(21)}}}+\sqrt{2})i}}$

であり

${\displaystyle z+\frac{\sqrt{\boxed{\text{(24)}}}-\sqrt{\boxed{\text{(25)}}}+(\sqrt{\boxed{\text{(26)}}}+\sqrt{2})i}{\boxed{\text{(27)}}}\bar{z}=\frac{-1+\sqrt{\boxed{\text{(28)}}}+(\sqrt{\boxed{\text{(29)}}}-\sqrt{\boxed{\text{(30)}}})i}{\boxed{\text{(31)}}}}$

とも表される．

【３-2】　自然数$n$の$n$以外の約数の和が$n$に等しいとき，$n$は完全数とよばれる．たとえば$6$の約数は，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}6$であり，$1+2+3=6$となるので，$6$は完全数である．以下は N=10000 までの完全数を求めるプログラムであり，その後の文章は計算時間に関する考察である．選択肢から最も適切なものを選び，その番号を解答欄に答えなさい．ただし，プログラムで

IF 条件文 THEN 複数行 END IF

は条件文が満たされたとき，THEN と END IF の間にある複数行が実行される．

• 100 $\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}$ = 10000
• 110 DIM DN(N)
• 120 FOR I=4 TO N
• 130 NUM=0
• 140 FOR J=1 TO I-1
• 150 R=I-J $\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}}$ INT($\boxed{\text{(36)}}\boxed{\text{(37)}}$)
• 160 IF R= $\boxed{\text{(38)}}\boxed{\text{(39)}}$ THEN
• 170 NUM=NUM+1
• 180 DN(NUM)= $\boxed{\text{(40)}}\boxed{\text{(41)}}$
• 190 END IF
• 200 NEXT J
• 210 SUM= $\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}$
• 220 FOR J=1 TO NUM
• 230 $\boxed{\text{(44)}}\boxed{\text{(45)}}$= SUM+ $\boxed{\text{(46)}}\boxed{\text{(47)}}$
• 240 NEXT J
• 250 IF SUM = $\boxed{\text{(48)}}\boxed{\text{(49)}}$ THEN
• 260 PRINT I,"IS COMPLETE"
• 270 END IF
• 280 NEXT I

　このプログラムを実行すると，$6\text{，}28\text{，}496\text{，}8128$が完全数であることが分かる．さらに大きな完全数を求めようとして N を大きくすると計算に時間がかかる．$140$行目の I-1 を$\boxed{\text{(50)}}\boxed{\text{(51)}}$に変えることにより計算にかかる時間を減らすことができる．

[選択肢]

• (01)　I
• (02)　J
• (03)　N
• (04)　0
• (05)　1
• (06)　DN(I)
• (07)　DN(J)
• (08)　NUM
• (09)　SUM
• (10)　I+J
• (11)　I-J
• (12)　I*J
• (13)　I/J
• (14)　J/I
• (15)　I/2
• (16)　J/2
• (17)　+
• (18)　-
• (19)　*
• (20)　/

【４】　次の命題$P(n)\text{（}n\geqq 2\text{）}$を証明しよう．選択肢から最も適切なものを選び，その番号を解答欄に答えなさい．ただし，$\boxed{\text{(56)}}\text{，}\boxed{\text{(60)}}\text{，}\boxed{\text{(61)}}$には適切な数字を答えなさい．

$P(n)$：正数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$は$a_1+a_2+\cdots +a_n=1$を満たすとする．このとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{1-a_k}}\geqq {\displaystyle \frac{n}{n-1}}$

である．ただし，左辺の$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$に関する最小値が存在することを仮定する．

証明：上の不等式の左辺で仮定された最小値を与える数列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とする．数列を並び替えて，$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$としても結論は変わらないので，以下このように仮定する．今ある$h$で$a_h<a_{h+1}$であるとしよう．正数からなる数列$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n$を

$b_k=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_h\boxed{\text{(52)}}{a}_{h+1})\text{，}& k\boxed{\text{(53)}}h\text{，}h+1\text{のとき}\\ a_k\text{，}& \text{その他のとき}\end{array}$

と定める．$a_h\boxed{\text{(54)}}{a}_{h+1}=b_h\boxed{\text{(55)}}{b}_{h+1}$であるから，$b_1+b_2+\cdots +b_n=\boxed{\text{(56)}}$であり，$a_h\boxed{\text{(57)}}{b}_h\boxed{\text{(58)}}{b}_{h+1}\boxed{\text{(59)}}{a}_{h+1}$である．また$0<x<y<1$に対して

${\displaystyle \frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}-\boxed{\text{(60)}}\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+y)}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+y)}=\frac{x^2-\boxed{\text{(61)}}xy+y^2}{(1-x)(1-y)(2-x-y)}\boxed{\text{(62)}}0}$

であるから

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{1-a_k}}\boxed{\text{(63)}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{b_k}{1-b_k}}$

となる．これは左辺が最小値であることに矛盾する．よって$a_1\boxed{\text{(64)}}{a}_2\boxed{\text{(64)}}\cdots \boxed{\text{(64)}}{a}_n$であることがわかり証明を終える．

[選択肢]

• (1)　$\leqq$
• (2)　$\geqq$
• (3)　$<$
• (4)　$>$
• (5)　$=$
• (6)　$\ne$
• (7)　$+$
• (8)　$-$
• (9)　$\times$

【５】　選択肢から最も適切なものを選び，その番号を解答欄に答えなさい．ただし，$\boxed{\text{(65)}}$と$\boxed{\text{(79)}}\boxed{\text{(80)}}$には計算した値を答えなさい．

　$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$の$2$文字を並べた文字列を考える．たとえば$\mathrm{LLRLRR}$は文字列であり，その長さは$6$である．以下，文字列の長さは$1$以上とする．文字列の左端から右へ連続した部分を接頭辞とよぶ．たとえば文字列$\mathrm{LLRLRR}$のすべての接頭辞を短い順に列挙すれば$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{LL}\text{，}\mathrm{LLR}\text{，}\mathrm{LLRL}\text{，}\mathrm{LLRLR}\text{，}\mathrm{LLRLRR}$である．接頭辞も文字列であり，$6$個目のように文字列自身もその接頭辞である．$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$のそれぞれの出現回数が$m\text{，}n$の文字列を$(m,n)\text{- 型}$とよぶ．$\mathrm{LLRL}$は$(3,1)-\text{型}$であり，$\mathrm{RR}$は$(0,2)-\text{型}$である．文字列$w$が次の条件を満たすとき，$w$は適格であると定義しよう．

(A)　$w$のどの接頭辞$p$についても，$p$中の$\mathrm{R}$の出現数は$\mathrm{L}$の出現数を超えない．

また適格でない文字列を不適格とよぶことにする．例えば文字列$\mathrm{LR}$と$\mathrm{LRLLRR}$は適格であるが，$\mathrm{RLRL}$は不適格である．長さ$4$の適格な文字列は全部で$\boxed{\text{(65)}}$個ある．

　$m$個の要素からなる集合から，$k$個の要素を選び出す組合せの数${\displaystyle \frac{m!}{k!(m-k)!}}$を$C(m,k)$と書くことにする．$(m,n)-\text{型}$の文字列のすべての個数は$C(\boxed{\text{(66)}},\boxed{\text{(67)}})$である．とくに$(n,n)-\text{型}$の文字列のすべての個数は$C(\boxed{\text{(68)}},\boxed{\text{(69)}})$である．

　さて，$(n,n)-\text{型}$の適格な文字列のすべての個数を求めよう．その個数を$K(n)$とする．$(n,n)-\text{型}$の不適格な文字列$w$は必ず(A)の条件を満たさない接頭辞を持つことに注意して，その中で長さの最も短い接頭辞を$p$とする．$w$から接頭辞$p$を切り落とした残りを$t$とおく．すなわち，$p$の右側に$t$を並べると$w$になる．一般に文字列$x$の右側に文字列$y$を並べて得られる文字列を$xy$と書くことにすれば，$w=pt$である．次に$t$中の$\mathrm{L}$を$\mathrm{R}$に，$\mathrm{R}$を$\mathrm{L}$に一斉に書き換えて得られる文字列を$t^{\prime }$とする．このとき$w^{\prime }=p{t}^{\prime }$は$(\boxed{\text{(70)}},\boxed{\text{(71)}})-\text{型}$である．

このことから，$(n,n)-\text{型}$の不適格な文字列$w=pt$と$(\boxed{\text{(70)}},\boxed{\text{(71)}})-\text{型}$の文字列$w^{\prime }=p{t}^{\prime }$が$1$対$1$に対応することが分かる．ゆえに

$K(n)=C(\boxed{\text{(72)}},\boxed{\text{(73)}})-C(\boxed{\text{(74)}},\boxed{\text{(75)}}+1)$

である．右辺を変形して簡略化すると

$K(n)={\displaystyle \frac{(\boxed{\text{(76)}})!}{{((\boxed{\text{(77)}})!)}^2\boxed{\text{(78)}}}}$

となる．たとえば$K(4)$を計算すると$\boxed{\text{(79)}}\boxed{\text{(80)}}$である．

[選択肢]

• (1)　$n-1$
• (2)　$n$
• (3)　$n+1$
• (4)　$m-1$
• (5)　$n-m$
• (6)　$m+1$
• (7)　$n+m$
• (8)　$2n$
• (9)　$2m$