2005　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　$xy$平面上の$2$つの円

• $O_1:x^2+y^2=1$
• $O_2:{(x-5)}^2+y^2=4$

を考える．点$\mathrm{P}(2,a)$を通る$O_1\text{，}{O}_2$の共通接線を引くことができるような$a$の値のうち，正の有理数は$a=\boxed{\text{(あ)}}$であり，正の無理数は$a=\boxed{\text{(い)}}$である．$a=\boxed{\text{(あ)}}$のとき，その共通接線と$O_2$の接点の座標は$(\boxed{\text{(う)}},\boxed{\text{(え)}})$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(2)　$f(x)=\left({\displaystyle \frac{2}{x^3}+\frac{1}{x}}\right)\sin x$とすると，$f(x)$の不定積分は

${\displaystyle \int }f(x)dx=\boxed{\text{(お)}}+C$ただし，$C$は積分定数

となる．さらに，

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}}|f(x)|dx=\boxed{\text{(か)}}$

となる．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　箱が$3$つと球が$3$個用意されている．ある箱の中に球が$1$個入っている場合その箱を「$1$球入りの箱」と呼び，球が$2$個入っている場合は「$2$球入りの箱」，球が$3$個入っている場合は「$3$球入りの箱」と呼ぶことにする．いま各箱の中に球を$1$個ずつ入れ，次の操作$\mathrm{T}$を何回か繰り返す．

$\text{操作}\mathrm{T}$次の(a)〜(c)の規則に従って$3$個の球を同時に処理する．

• (a)　「$1$球入りの箱」の中の球については，他の球とは独立に，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$でいま入っている箱の中に入れたままにし，確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$ずつで他の$2$つの箱のうちのどちらかに移す．
• (b)　「$2$球入りの箱」の中の球については，各球を互いに独立に，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$でいま入っている箱の中に入れたままにし，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$ずつで他の$2$つの箱のうちのどちらかに移す．
• (c)　「$3$球入りの箱」の中の球については，各球を互いに独立に，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$でいま入っている箱の中にいれたままにし，確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$ずつで他の$2$つの箱のうちのどちらかに移す．

　以下，$n$を自然数とする．$n$回目の操作を終えたとき，各箱の中に球が$1$個ずつ入っている確率を$p_n\text{，}$どれか$1$つの箱の中に球が$3$個入っている確率を$q_n$とする．

(1)　$p_1=\boxed{\text{(あ)}}\text{，}{q}_1=\boxed{\text{(い)}}$であり，$p_2=\boxed{\text{(う)}}$である．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$p_n\text{，}{q}_n$を$p_{n-1}\text{，}{q}_{n-1}$を用いて表すと

$\{\begin{array}{l}{p}_n=\boxed{\text{(え)}}{p}_{n-1}+\boxed{\text{(お)}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\\ q_n=\boxed{\text{(か)}}{p}_{n-1}+\boxed{\text{(き)}}{q}_{n-1}+\boxed{\text{(く)}}\end{array}$

となる．よって$p_n+q_n$を$n$の式で表すと$p_n+q_n=\boxed{\text{(け)}}$となり，$p_n$を$n$の式で表すと$p_n=\boxed{\text{(こ)}}$となる．

【３】　設問(1)から(3)に答えなさい．

　平面上の四角形$\mathrm{PQRS}$において，三角形$\mathrm{PQS}$および三角形$\mathrm{QRS}$がともに正三角形であるとき，四角形$\mathrm{PQRS}$は「線分$\mathrm{PR}$を長対角線とする正ひし形」であるということにする．

(1)　平面上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$が与えられたとき，定規とコンパスによって「線分$\mathrm{PR}$を長対角線とする正ひし形」を作図する手順を箇条書きで示しなさい．（補助的に手書き図を用いてもよい．）

　いま座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(x,y)$に対し，座標平面上の点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)により定める．ただし，$y>0$とする．

• (ⅰ)　点$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{BC}$を長対角線とする正ひし形の頂点で，直線$\mathrm{BC}$に関し点$\mathrm{A}$の反対側にある．
• (ⅱ)　点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{CA}$を長対角線とする正ひし形の頂点で，直線$\mathrm{CA}$に関し点$\mathrm{B}$の反対側にある．
• (ⅲ)　点$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{AB}$を長対角線とする正ひし形の頂点で，直線$\mathrm{AB}$に関し点$\mathrm{C}$の反対側にある．

(2)　三角形$\mathrm{DEF}$が正三角形であることを示しなさい．

(3)　三角形$\mathrm{DEF}$の重心が三角形$\mathrm{ABC}$の重心と一致することを示しなさい．

【４】　設問(1)から(3)に答えなさい．

　関数$f(x)=e^{\frac{x^2}{2}}$が等式

$f(x)=1+{\displaystyle {\int }_0^x}tf(t)dt$

を満たすことに着目して，自然対数の底$e$の平方根$\sqrt{e}$の近似値を求めることを考える．そこで，$f(x)$を近似する関数$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{）}$を

• $f_0(x)=1$
• $f_n(x)=1+{\displaystyle {\int }_0^x}t{f}_{n-1}(t)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により順に定める．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき

$f(x)-f_0(x)\leqq \sqrt{e}-1$

を示しなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，任意の$n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に対し

$0\leqq f(x)-f_n(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{n}n!}}(\sqrt{e}-1)x^{2n}$

を示しなさい．

(3)　$f_5(1)$と$\sqrt{e}$が小数第$3$位まで一致することを示しなさい．