2005　上智大学　地球法，英語，心理学科2月6日実施MathJax

【１】

(1)　$f(x)\text{，}g(x)$は$x$の$2$次式で

$f(x)-g(x)=2x^2-2x+2$

$f(x)g(x)=3x^4+2x^3+5x^2+2x+3$

ならば

$f(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$

$g(x)=\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

である．ただし$f(0)>0$とする．

【１】

(2)　$\alpha =5^{{\log }_{25}3}+1$とすると

$4^{{\log }_2\alpha }=\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$

である．

【２】　素数とは，その数自身と$1$のほかに因数をもたない$2$以上の自然数である．

　$2$以上の自然数$n$に対して，自然数$P(n)$を次の規則で定める．

$\{\begin{array}{l}n\text{が素数ならば，}P(n)=1\text{，}\\ n\text{が素数でないならば，}P(n)\text{は}n\text{を割り切る最も小さい素数．}\end{array}$

　例えば，$P(2)=1\text{，}P(3)=1\text{，}P(4)=2\text{，}P(5)=1\text{，}P(6)=2$である

(1)　$P(a)=5$となる$2$以上の自然数$a$のうち最小のものは$a=\boxed{\text{コ}}$である．

(2)　自然数$n$が$2\leqq n\leqq 100$の範囲にあるとき$P(n)$の最大値は$\boxed{\text{サ}}$であり，$P(b)=\boxed{\text{サ}}$となる自然数$b$は，$2\leqq b\leqq 100$の範囲に全部で$\boxed{\text{シ}}$個ある．

(3)　$c$を$2$以上の自然数とし自然数$n$が$2\leqq n\leqq c$の範囲にあるとき，$P(n)$の最大値が$11$であるとする．このような$c$の最小値は$\boxed{\text{ス}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{セ}}$である．

【３】　$a$を実数とし，$3$次関数$f(x)=x^3-3(a-1)x^2-12ax-9a$を考える．

(1)　$x=\boxed{\text{ソ}}$または$x=\boxed{\text{タ}}$のとき，$f(x)$の値は$a$の値によらない．ただし$\boxed{\text{ソ}}<\boxed{\text{タ}}$とする．

(2)　$a=\boxed{\text{チ}}$のとき$f(x)$は極値をもたない．

(3)　$f(x)$の極小値は$a<\boxed{\text{チ}}$のとき$\boxed{\text{ツ}}a+\boxed{\text{テ}}$であり，$a>\boxed{\text{チ}}$のとき$\boxed{\text{ト}}a{(2a+\boxed{\text{ナ}})}^2$である．

(4)　$f(x)$の極小値が最大になるのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のときで，そのときの$f(x)$の極小値は$\boxed{\text{ネ}}$である．

【４】　$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$がそれぞれ$5\text{，}6\text{，}7$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$をそれぞれ$t:(1-t)$（ただし$0<t<1$）に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．

(1)　$\mathrm{AE}$が$\mathrm{BC}$に垂直であるならば，そのときの$t$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$で，$\mathrm{AE}=\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$である．三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{DEF}$の面積は一般に

$(\boxed{\text{マ}}{t}^2+\boxed{\text{ミ}}t+\boxed{\text{ム}})S$

であり，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}$をとる．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ル}}}\text{，}$内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ワ}}}$である．