2005　上智大学　総合人間，外国語学部2月7日実施

【１】

(1)　$xy$平面上の放物線$C_1:y=x^2-4x-4$と点$(0,4)$を通る直線$l$がある．$C_1$と$l$の$2$つの交点の$x$座標の差が$6$のとき，$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}x+4$または$y=\boxed{\text{イ}}x+4$

である．ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$とする．

【１】

(2)　$xy$平面上の放物線$C_2:y=a{x}^2+bx+c$が，次の$3$つの条件をみたすとする．

・$C_2$は$(1,3)$を通る．

・$y$軸に関して$C_2$と対称な放物線は，点$(-2,1)$を通る．

・点$(1,1)$に関して$C_2$と対称な放物線は，点$(2,-5)$を通る．

　このとき，

$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}b=\boxed{\text{エ}}\text{，}c=\boxed{\text{オ}}$

である．

【１】

(3)　方程式$18x-7y=9$をみたす$2$つの正の整数$x\text{，}y$の中で，$x+y$が最小になるのは$x=\boxed{\text{カ}}\text{，}y=\boxed{\text{キ}}$のときであり，$x+y$の$2$番目に小さい値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$xy$平面上に$3$つの直線

$l_1:x+y-3=0$

$l_2:x-2y=0$

$l_3:x+2y=0$

がある．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{A}\text{，}{l}_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{B}\text{，}{l}_3$と$l_1$の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\sin B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，外接円の直径は$\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$であり，$\mathrm{P}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線は

$y=\boxed{\text{ソ}}x+\boxed{\text{タ}}$

である．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線を$mx+ny=3\sqrt{5}$とすると

$m=\sqrt{\boxed{\text{チ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}\text{，}n=\sqrt{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{チ}}<\boxed{\text{ツ}}$とする．

(4)　点$(x,y)$が三角形$\mathrm{ABC}$の周と内部を動くとき

$x^2+y^2-2x+6y+8$

の最大値は$\boxed{\text{ニ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

【３】　与えられた正の整数の集合$\mathrm{X}$に対して，$\mathrm{X}$の中の$2$つの数の差として表される正の整数の全体を$\mathrm{D}\left(\mathrm{X}\right)$とする．

　たとえば，$\mathrm{X}=\{1,2,3,4\}$のとき，$3-2=1\text{，}4-1=3$なので，$1$と$3$は集合$\mathrm{D}\left(\mathrm{X}\right)$の要素である．

(1)　$\mathrm{A}=\{1,3,8\}$のとき，$\mathrm{D}\left(\mathrm{A}\right)=\{\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ハ}}\}$である．ただし，$\boxed{\text{ネ}}<\boxed{\text{ノ}}<\boxed{\text{ハ}}$とする．

(2)　$\mathrm{B}=\{1,2,3,8,9,10\}$のとき，$\mathrm{D}\left(\mathrm{B}\right)$の要素は$\boxed{\text{ヒ}}$個あり，その中で$3$の倍数は$\boxed{\text{フ}}$個ある．

(3)　$\mathrm{C}=\{1,2,4,7,9,12,13,14,21,34\}$とする．$\mathrm{C}$の中で$4$で割ると$1$余る数は$\boxed{\text{ヘ}}$個，$4$で割ると$3$余る数は$\boxed{\text{ホ}}$個ある．$\mathrm{D}\left(\mathrm{C}\right)$の中で$4$の倍数は$\boxed{\text{マ}}$個ある．

(4)　正の整数の集合$\mathrm{Y}$は，$4$つの要素からなり，$1$は$\mathrm{Y}$に属し，$\mathrm{D}\left(\mathrm{Y}\right)=\{1,2,3,4,5,6\}$であるとする．このとき，$\mathrm{Y}$は$1$以外に必ず$\boxed{\text{ミ}}$を要素とする．このような$\mathrm{Y}$は全部で$\boxed{\text{ム}}$通りあり，その中でさらに$2$を要素とするものは

$\mathrm{Y}=\{1,2,\boxed{\text{メ}},\boxed{\text{ミ}}\}$

である．