2005　上智大学　経済(経済)学部2月11日実施MathJax

【１】

(1)　$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．

(ⅰ)　${\alpha }^2+4\alpha +\beta \text{，}{\beta }^2+4\beta +\alpha$を$2$つの解とする$2$次方程式で，$x^2$の係数が$1$となるものは

$x^2+\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}=0$

である．

(ⅱ)　はじめの$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解が${\alpha }^2+p\alpha +q\text{，}{\beta }^2+p\beta +q$と表されるならば$p=\boxed{\text{ウ}}\text{，}q=\boxed{\text{エ}}$または$p=\boxed{\text{オ}}\text{，}q=\boxed{\text{カ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

【１】

(2)　実数$x\text{，}y$について，$3x^2-2xy+3y^2=16$が成り立つとする．

(ⅰ)　$x+y=u\text{，}xy=v$とおくと，$3x^2-2xy+3y^2=16$は

$v={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{u}^2+\boxed{\text{ケ}}\cdots \text{①}$

と表せる．また，$t$に関する$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解$x\text{，}y$をもつので，$u\text{，}v$は$u^2-4v\geqq 0$をみたす．この不等式に$\text{①}$を代入して得られる$2$次不等式を解けば

$\boxed{\text{コ}}\leqq u\leqq \boxed{\text{サ}}$

である．

(ⅱ)　$xy$のとり得る値の範囲は，$\boxed{\text{シ}}\leqq xy\leqq \boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$f(x)=x^3-x\text{，}g(x)={(x-a)}^3-(x-a)$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)　$a=1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　$|f(x)-g(x)|$の最小値は，$0<a\leqq \boxed{\text{タ}}$のとき，$\boxed{\text{チ}}$であり，$\boxed{\text{タ}}<a$のとき，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}{a}^3+\boxed{\text{ト}}{a}^2+\boxed{\text{ナ}}a+\boxed{\text{ニ}}$である．

(3)　$a=\boxed{\text{タ}}$のとき，

${\displaystyle {\int }_1^2}(f(x)-g(x))dx=\boxed{\text{ヌ}}$

である．

【３】　袋の中に，青，赤，黄の$3$つの球が入っている．また箱の中に青，赤の球が入っている．この袋から$1$つの球を取り出す．

・取り出した球の色が青ならば，$2$点獲得して，その青い球を箱の中に入れ，箱の中の赤い球を袋に入れる．

・取り出した球の色が黄ならば，$1$点獲得して，その黄色の球を袋に戻す．

・取り出した球の色が赤ならば，獲得点$0$で，その赤い球を箱の中に入れ，箱の中の青い球を袋に入れる．

　$n$回目（$n\geqq 2$）の試行では，$(n-1)$回目の試行で得られた袋より球を取り出し，$1$回目の試行と同様に点を獲得し，袋の中の球を出し入れする．ここで，袋の中の$3$つの球のうちの$1$つを取り出す確率は，球によらず等しく${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．

　たとえば最初に黄色の球を取り出せば，$1$点獲得して，黄色の球を袋に戻すから袋の中は「青，赤，黄」となる．$2$回目にこの袋から赤い球を取り出せば，獲得点$0$で青い球を袋に入れる．この$2$回の試行での獲得点の合計は$1$点となり，袋の中は〔青，青，黄」となっている．

(1)　次に述べてあることが正しければ，解答欄の○に，正しくなければ，解答欄の×にマークせよ．

(あ)　$3$回目の試行で，獲得点の合計が$4$点となるのは，毎回の試行で「青があれば，青，なければ，黄」が取り出された場合に限る．

(い)　$3$回目の試行で，獲得点の合計が$4$点となったとする．このとき$3$回目の試行で得られた袋の中身は，必ず「赤，赤，黄」となっている．

(う)　$3$回目の試行で得られた袋の中身が「赤，赤，黄」であれば，獲得点の合計は$4$点である．

(2)　$3$回目の試行で獲得点の合計が$4$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{，}2$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．また$3$回目の試行の後，袋の中が「青，赤，黄」となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(3)　$n$回目の試行の後，袋の中に「赤，赤，黄」の球がある確率を$p_n\text{，}$「青，赤，黄」の球がある確率を$q_n\text{，}$「青，青，黄」の球がある確率を$r_n$とする．$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$に関する漸化式は

$p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(p_n+q_n)$

$q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\boxed{\text{ホ}}{p}_n+\boxed{\text{マ}}{q}_n+\boxed{\text{ミ}}{r}_n)$

$r_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(q_n+r_n)$

である．この漸化式と，$p_1=q_1=r_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$より，$p_n=r_n$となることがわかる．さらに$p_n+q_n+r_n=1$であるから，$q_n$に関する漸化式

$q_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}+\frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}{q}^n}$

が得られる．