2005　上智大学　理工学部数学科2月12日実施MathJax

2005-13363-0901

2005　上智大学　理工学部

数学科

2月12日実施

易□　並□　難□

【１】(1)　 $2$ つの有理数の和は，また有理数であることを示せ．

(2)　次の命題(P)とその証明を考える．

(P)： $q_{1} ， q_{2} ， q_{3} ， \dots$ が有理数であるとき，その無限和 $\sum_{i = 1}^{\infty} q_{i}$ は有理数である．

証明： $q_{1} ， q_{2}$ が有理数だから， $q_{1} + q_{2}$ は有理数である．

　そこで $n$ を $2$ 以上の自然数とし， $Q = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ が有理数であると仮定する．

　このとき， $\sum_{i = 1}^{n + 1} q_{i} = Q + q_{n + 1}$ であり， $Q$ も $q_{n + 1}$ も仮定によって有理数だから， $\sum_{i = 1}^{n + 1} q_{i}$ もまた有理数である．

　したがって数学的帰納法により， $\sum_{i = 1}^{\infty} q_{i}$ は有理数である．

　実は命題(P)は間違っている．反例を示した上で，上の証明のどこが間違っているかを説明せよ．

2005-13363-0902

2005　上智大学　理工学部

数学科

2月12日実施

易□　並□　難□

【２】(1)　 $x y$ 平面で，動点, $P$ は集合 $M = {(x, y) | x^{2} + y^{2} ≦ 1}$ を，動点 $Q$ は集合 $N = {(x, y) | | x | + | y | = 3}$ を動くとする．このとき， $\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{OQ}$ で表される点 $R$ が動いてできる図形を図示し，その面積を求めよ．ただし， $O$ は原点とする．

(2)　 $x y z$ 空間で，動点 $P$ は集合 $M = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ 1}$ を，動点 $Q$ は集合 $N = {(x, y, z) | | x | ≦ 1, | y | ≦ 1, | z | ≦ 1}$ を動くとする．このとき， $\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{OQ}$ で表される点 $R$ が動いてできる図形の体積を求めよ．ただし， $O$ は原点とする．

2005-13363-0903

2005　上智大学　理工学部

数学科

2月12日実施

易□　並□　難□

【３】　自然数 $n$ に対し

$a_{n} = \frac{2 n \cdot 3^{n}}{(2 n + 1) (2 n + 3)}$

とおき，

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$

とする．このとき，

$S_{n} = \frac{3^{n + 1}}{2 (2 n + 3)} - \frac{1}{2}$

であることを示せ．

2005 上智大学 理工(数)学部2月12日実施MathJax

2005　上智大学　理工(数)学部2月12日実施MathJax