2005　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ユ}}$までに当てはまる数字$0$から$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は定数として，$x$の関数$f(x)$と$g(x)$を

$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{，}g(x)=x^2-2x$

とする．すべての$x$に対して，$h(g(x))=f(x)$が成り立つような$2$次関数

$h(x)=x^2+px+q$

が存在するのは，$a=-\boxed{\text{ア}}\text{，}c=-\boxed{\text{イ}}b+\boxed{\text{ウ}}$のときである．このとき，$p=b-\boxed{\text{エ}}\text{，}q=d$となる．

そのとき，さらに$g(h(x))=f(x)$がすべての$x$について成り立つならば，$p=-\boxed{\text{オ}}\text{，}q=\boxed{\text{カ}}$であり，$b=\boxed{\text{キ}}\text{，}c=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ユ}}$までに当てはまる数字$0$から$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　つぼに赤玉$3$個と黒玉$5$個が入っている．このつぼから無作為に玉を$1$つ取り出し，取り出した玉と同じ色の玉を$1$つ加えて元に戻す．たとえば，取り出した玉が赤ならば，$2$個の赤玉をつぼに入れる．この操作を繰り返し行う．なお，玉の大きさは無視できるものとし，操作を何回でも繰り返しできるものとする．

(a)　$2$回目に赤玉を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(b)　$1$回目から$5$回続けて赤玉を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}}$である．

(c)　$1$回目から$n$回続けて赤玉を取り出す確率を$p_n$とし，自然数$k$に対して，

$a_n=n^k{p}_n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

とおく．数列$\{a_n\}$が$0$でない値に収束するとき，$k=\boxed{\text{ソ}}$であり，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}$

である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ユ}}$までに当てはまる数字$0$から$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に，$3$点$\mathrm{A}(3,2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6,0)\text{，}\mathrm{C}(0,4,5)$があり，線分$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{P}(0,t,0)\text{（}0\leqq t\leqq 6\text{）}$がある．点$\mathrm{P}$を通り$xz$平面と平行な平面が四面体$\mathrm{OABC}$から切り取る図形が四角形となるのは，$\boxed{\text{ト}}<t<\boxed{\text{ナ}}$のときである．点$\mathrm{P}$以外のこの四角形の頂点を$x$座標の小さいものから順に$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とすると，

$\mathrm{Q}$の座標は$(0,t,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}t)$であり，

$\mathrm{R}$の座標は$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}t+\boxed{\text{ハ}},t,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}t-\boxed{\text{ヘ}})$であり，

$\mathrm{S}$の座標は$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}},t,0)$である．

この四角形の面積を$D$とする．$D$が最大となるのは，$t=\boxed{\text{メ}}$のときであって，このとき，$D={\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．

【２】　$k$は$0\leqq k\leqq 1$となる定数として，$f(x)=x^2-k^2$とおく．また，$t$は$0\leqq t\leqq 1$となる定数として，$g(x)={\displaystyle \frac{x+t-|x-t|}{2t}}$とおき，

$I={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)g(x)dx$

とする．

(1)　$I$を，$t$と$k$を用いて表せ．

(2)　$t$が$0\leqq k\leqq 1$の範囲を動くとき，$I$の最大値$M$を，$k$を用いて表せ．

(3)　$k$が$0\leqq k\leqq 1$の範囲を動くとき，(2)で求めた$I$の最大値$M$が取り得る値の範囲を求めよ．

【３】　$x$の関数$f_0(x)\text{，}{f}_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}\cdots$を

$f_0(x)=1\text{，}$

$f_n(x)=1+{\displaystyle \frac{2}{1!}}x+{\displaystyle \frac{2^2}{2!}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{2^n}{2!}}{x}^n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

により定義する．

(1)　自然数$n$に対して，

$f_n(x)-2{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt$

を計算せよ．

(2)　定数$a\text{，}b$に対し，$g(x)=a{e}^{bx}$とする．すべての$x$について，

$g(x)=2{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt+1$

が成り立つように，$a\text{，}b$の値を定めよ．

(3)　$g(x)$を(2)で定めた関数とする．$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，$h_n(x)=g(x)-f_n(x)$とおく．このとき，$0\leqq x\leqq 1$ならば，

$0\leqq h_n(x)\leqq h_0(1){\displaystyle \frac{{(2x)}^n}{n!}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

が成り立つことを，$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(1)$を求めよ．