2005　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{モ}}$までに当てはまる数字$0$から$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$2$次方程式$2x^2-x+a=0$の$2$つの解が$\sin \theta \text{，}\cos \theta$であるとき，$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}\sin 2\theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．これより，$\cos 4\theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{モ}}$までに当てはまる数字$0$から$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　平面上に$▵\mathrm{ABC}$と，その内部に点$\mathrm{O}$があり，

$5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+4\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，

$\overrightarrow{a}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{b}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{c}$

となる．実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-k\overrightarrow{a}$となる点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{BC}$上にあるのは$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$のときである．このとき，$\mathrm{OA}:\mathrm{OD}=1:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$であるから，$▵\mathrm{OBC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}▵\mathrm{ABC}$となる．さらに

$▵\mathrm{OAB}:▵\mathrm{OBC}:▵\mathrm{OCA}=\boxed{\text{ト}}:\boxed{\text{ナ}}:\boxed{\text{ニ}}$

であることがわかる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{モ}}$までに当てはまる数字$0$から$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)

$(a+bi)(c+di)=4+3i\cdots$(＊)

となる整数の組$(a,b,c,d)$を考える．ただし，$i$は虚数単位である．

(a)　$4+3i$の絶対値の$2$乗は$\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}$である．

(b)　(＊)を満たす$(a,b,c,d)$のうち，$a^2+b^2=1$であるものは$\boxed{\text{ノ}}$組ある．

(c)　(＊)を満たす$(a,b,c,d)$のうち，$1<a^2+b^2<10$かつ$a\geqq 0$であるものは，$(\boxed{\text{ハ}},\boxed{\text{ヒ}},\boxed{\text{フ}},-\boxed{\text{ヘ}})$と$(\boxed{\text{ホ}},-\boxed{\text{マ}},\boxed{\text{ミ}},\boxed{\text{ム}})$である．

(d)　(＊)を満たす$(a,b,c,d)$は，全部で$\boxed{\text{メ}\text{モ}}$組ある．

【２】　$xy$平面において，放物線$C:y=x^2+ax+b$（$a\text{，}b$は実数）の頂点を$\mathrm{P}(p,q)$とし，$C$についての次の$2$つの条件を考える．

(＊)　$C$は直線$y=2x$と異なる$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4$である．

(＊＊)　$C$と$y$軸との交点の$y$座標は負である．

(1)　$a$および$b$を，$p$と$q$を用いて表せ．

(2)　$C$が条件(＊)を満たすように実数$a\text{，}b$を変化させるとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(3)　$C$が条件(＊)と(＊＊)を満たすように実数$a\text{，}b$を変化させるものとする．

(a)　$\mathrm{P}$の$x$座標$p$が取り得る値の範囲を求めよ．

(b)　$\mathrm{P}$と点$(-1,0)$との距離の最小値が存在するかどうか調べよ．存在する場合は，最小値を与える$\mathrm{P}$の座標$(p,q)$を求めよ．

【３】　$a$は正の定数として，$xy$平面における曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{a}}\log (x+1)$を考える．ただし，対数は自然対数である．

　$C$上の点$(t,{\displaystyle \frac{1}{a}}\log (t+1))\text{（}0<t<a\text{）}$における$C$の接線と$2$直線$x=0\text{，}x=a$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とおく．そのとき，線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}x=a$とで囲まれた台形の面積を$S$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C\text{，}$および$2$直線$x=0\text{，}x=a$とで囲まれた部分の面積を$T$とする．

(1)　$t$が$0<t<a$の範囲を動くとき，$S$を最小にする$t$の値，および$S$の最小値を求めよ．

(2)　$t$が$0<t<a$の範囲を動くときの$T$の最小値を$m$とおく．

(a)　$m$を求めよ．

(b)　$a\to \infty$のときの$m$の極限値を求めよ．必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることを用いてもよい．