2005　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とおく．実数$s\text{，}t$が条件

$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}s+t=2$

を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡は，直線

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}x+\boxed{\text{ウ}}$

上の$\mathrm{C}(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})\text{，}\mathrm{D}(-\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$を端点とする線分である．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$のなす角を$\theta$とすると，

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}}\text{，}\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}}$（ただし，$\boxed{\text{ケ}\text{コ}}<40$とする）

である．また，$▵\mathrm{OCD}$の面積は$\boxed{\text{シ}}$である．

$A=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -1& 0\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ a& b\end{array}\right)$

とする．

$A\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}-1\\ b\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}-1\\ b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}c\\ -1\end{array}\right)$

が成り立つとすると，

$k=\boxed{\text{ス}}\text{，}a=-\boxed{\text{セ}}\text{，}b=\boxed{\text{ソ}}\text{，}c=\boxed{\text{タ}}$

である．このとき，

$AP=P\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{チ}}& \boxed{\text{ツ}}\\ \boxed{\text{テ}}& \boxed{\text{ト}}\end{array}\right)$

となり，さらに，自然数$n$に対して，

${(P^{-1}AP)}^n=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^n& n{\beta }^{n-1}\\ 0& {\alpha }^n\end{array}\right)$

となる．ここで，$\alpha =\boxed{\text{ナ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ニ}}$である．これより，$A^n$を求めると，例えば，

$A^{20}={\boxed{\text{ナ}}}^{20}\left(\begin{array}{cc}21& \boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}\\ -10& -\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}\end{array}\right)$

となる．

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

である．複素数$\beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}i$に対して，$z={\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$とおくと，

$z=\cos \boxed{\text{マ}\text{ミ}}\mathrm{°}+i\sin \boxed{\text{マ}\text{ミ}}\mathrm{°}$

であり，$1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}=0$を満たす最小の自然数$n$は，$n=\boxed{\text{ム}\text{メ}}$である．この$n$に対して，

$z^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{z^{n-1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{モ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$

である．

(1)　点$\mathrm{P}(2,-1)$から曲線$y=x^3-x-3$に接線が何本引けるか．接線の本数と，各接点の$x$座標を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$を定数とする．点$\mathrm{P}(2,-1)$から曲線$C:y=x^3+ax+b$に接線がちょうど$2$本引けるという．ただし，点$\mathrm{P}$は曲線$C$上にないものとする．

(a)　$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．

(b)　各接点の$x$座標を求めよ．

(c)　これらの接線が直交するとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(1)　$C$と$l$の交点の個数は，$a$の値によらずに一定であることを示せ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．

(a)　$S(a)$を，$a$を用いて表せ．

(b)　$a$の関数$S(a)\text{（}a>0\text{）}$は，単調減少関数であることを示せ．

(c)　関数$S(a)\text{（}a>0\text{）}$の取り得る値の範囲を求めよ．必要ならば，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (1+t)}{t}}=0$を用いてもよい．