2005　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　複素数$z$が式$|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$を満たすとき，${(z+1)}^2$の実部は$z=\boxed{\text{ア}}$で最大値$\boxed{\text{イ}}$をとり，$z=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}i$で最小値$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$をとる．ここで，$i$は虚数単位である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}x+3\\ y\leqq -5x+25\\ x\geqq 0\\ y\geqq 0\end{array}$

の表す領域を点$(x,y)$が動くとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$x^2+y^2$は$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$で最小値$\boxed{\text{ウ}}$をとり，$x=\boxed{\text{エ}}\text{，}y=\boxed{\text{オ}}$で最大値$\boxed{\text{カ}\text{キ}}$をとる．

(b)　$x^2+y^2-2(x+6y)$は$x=\boxed{\text{ク}}\text{，}y=\boxed{\text{ケ}}$で最小値$-\boxed{\text{コ}\text{サ}}$をとり，$x=\boxed{\text{シ}}\text{，}y=\boxed{\text{ス}}$で最大値$\boxed{\text{セ}\text{ソ}}$をとる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　すべての実数を定義域とする$x$の関数

$y={\log }_3{\displaystyle \frac{m{x}^2+4x+n}{x^2+1}}+{\log }_{3}2$

の値域が$0\leqq y\leqq 2$となるのは，$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$のときである．このとき，$y$は$x=-\boxed{\text{オ}}$で最小値をとり，$x=\boxed{\text{カ}}$で最大値をとる．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }y={\log }_3\boxed{\text{キ}}$である．

【２】

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\log \sqrt{x}}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$を微分しなさい．

【２】

(2)　不等式$x^2+y^2\leqq 8$の表す領域が放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$によって分けられる$2$つの部分の面積を求めなさい．

【３】　正の数$\alpha$に対して関数$f(x)=(\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}-x)(4-3x^2)$は$2$つの極値をもつ．その極値をとる$x$の値を$x=p\text{，}q\text{（}p<q\text{）}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$p\text{，}q$を$\alpha$で表しなさい．

(2)　$\alpha$を$\alpha >0$の範囲で動かすとき，$q-p$の最小値を求めなさい．

(3)　$f(q)-f(p)$を$\alpha$で表しなさい．

(4)　$y=f(x)$のグラフ上の$2$点$(p,f(p))\text{，}(q,f(q))$を通る直線の傾きが$-3$であるとき，$\alpha$の値を求めなさい．