2005　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　複素数$z$について考える．ただし，以下において$i$は虚数単位である．

(a)　$z$が実数$m$を含む式

$z^2-{(1+i)}^2=6+m\bar{z}$

を満たし，さらに

$\arg z={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$

であるとき，$m=\boxed{\text{ア}}$であり，$z=\boxed{\text{p}}\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}}i$である．

(b)　$|z|=1$のとき，$|z-2i|$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．

(c)　$|z|\leqq 1$のとき，$|z+1+i|$の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{カ}}}+\boxed{\text{キ}}$であり，偏角$\theta =\arg (z+1+i)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi$である．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　$2$つの駒を，それぞれ右図の$5$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$のいずれかに置き，それぞれの駒を独立に，以下のルールにしたがって同時に移動させる試行を考える．

　駒を隣り合う各点へ等しい確率で移動させる．例えば，点$\mathrm{A}$に置かれた駒は点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$へそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で移動させ，点$\mathrm{E}$に置かれた駒は点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$へそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で移動させる．

(a)　$1$回の試行の後に$2$つの駒が同じ点にある確率を考える．その確率は，$2$つの駒が最初に置かれた点が$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$であるときは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$であるときは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であり，また$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$であるときは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(b)　この試行を$2$回続けた後に，$2$つの駒が初めて同じ点にある確率を考える．その確率は$2$つの駒が最初に置かれた点が$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$であるときは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$であり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$であるときは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$である．

(c)　この試行を$3$回続けた後に，$2$つの駒が初めて同じ点にある確率を考える．その確率は$2$つの駒が最初に置かれた点が$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$であるとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの内角を$\angle A=\alpha \text{，}\angle B=\beta \text{，}\angle C=\gamma$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が半径$\sqrt{7}$の円周上にあり，式

$1+\cos 2\alpha =3\sin (\beta +\gamma )$

が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\mathrm{AC}\geqq \mathrm{AB}$とする．

(a)　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\mathrm{BC}=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．

(b)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$になるのは，$\mathrm{AC}=\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}\text{，}\mathrm{AB}=\boxed{\text{カ}}$のときである．

(c)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大になるのは，

$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}{2}}(\boxed{\text{ケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}})$

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}{2}}(\boxed{\text{ス}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}})$

のときである．

【２】(1)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{\sqrt[3]{x}}dx$を求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{\sqrt[3]{x}}$の指数$\sqrt[3]{x}$は$x$の$3$乗根である．

【２】(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$が$A\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)A$を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$r\text{，}s$を$p\text{，}q$で表しなさい．

(b)　$A^2=A$のとき，$A$を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面において，直線$L:y=x+m$が楕円$C:x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　定数$m$がとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$m$で表しなさい．また，$m$が変化するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めなさい．

(3)　直線$y=x$に関して対称な$2$点が楕円$C$上に存在する．この$2$点の座標を求めなさい．

(4)　直線$L$に関して対称な$2$点が楕円$C$上に存在するとき，定数$m$がとりうる値の範囲を求めなさい．