2005　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　以下の問題(1)から(3)において，空欄のカタカナの$1$文字にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(1)　座標平面上の放物線$y=-4x^2+1$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}(t,-4t^2+1)$をとる．ただし，$t>0$とする．$\mathrm{O}$を原点として，線分$\mathrm{OP}$の長さの$2$乗${\mathrm{OP}}^2$を$t$で表すと，

${\mathrm{OP}}^2=\boxed{\text{ア}\text{イ}}{t}^4-\boxed{\text{ウ}}{t}^2+\boxed{\text{エ}}$

となる．従って，$t$が$t>0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{OP}$の長さが最小になるのは，$t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のときであり，線分$\mathrm{OP}$の長さの最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})$

である．

【１】　以下の問題(1)から(3)において，空欄のカタカナの$1$文字にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数の定数とする．$x$の$3$次関数

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

が$x=-1$で極大値$4$をとるとする．さらに，方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつとする．

このとき，

$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}b=-\boxed{\text{セ}}\text{，}c=\boxed{\text{ソ}}$

であり，方程式$f(x)=0$の$x=1$以外の実数解は$x=-\boxed{\text{タ}}$である．

さらに，座標平面上で，曲線$y=f(x)$および$x$軸によって囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【１】　以下の問題(1)から(3)において，空欄のカタカナの$1$文字にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(3)　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(3,3)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,-2)$がある．$d$は実数の定数で$d>0$とする．次の条件

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2=d^2\cdots \text{①}$

をみたす点$\mathrm{P}$の集合を$K$とする．

　点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$として，条件$\text{①}$を書き直すと，

${(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}(d^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}})$

となる．したがって，

$0<d<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$のとき，$K$は空集合である．

$d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$のとき，$K$は$1$点$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})$から成る集合である．

$d>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$のとき，

$K$は中心$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})\text{，}$半径$\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}(d^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}})}$

の円である．

以後，$d>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$とする．円$K$が点$\mathrm{A}$を通るのは$d=\sqrt{\boxed{\text{ミ}\text{ム}}}$のときである．このとき，点$\mathrm{A}$における円$K$の接線の方程式は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}}y=1$

である．

【２】　$\theta \text{，}k$を実数として，平面上の$2$つのベクトル

$\overrightarrow{v}=({\cos }^2\theta -{\displaystyle \frac{3}{5}},k)\text{，}\overrightarrow{w}=(1,4\sin \theta +5k)$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x=\sin \theta$とおき，$\overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{w}$の内積$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$を計算して$x$と$k$の式で表せ．

(2)　$k={\displaystyle \frac{3}{10}}$のとき，$\overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{w}$が直交するような$\theta$の値が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で$2$つある．その$2$つの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲の異なる$4$つの$\theta$の値で$\overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{w}$が直交するとき，$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　実数全体を定義域とする関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそれらをとる$x$の値を求めて，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$とする．この積分を計算して$F(x)$を$x$の式で表せ．

(3)　上で定義された$F(x)$に対して，$a$と$h$が等式

$F(a+h)-F(a)=1$

を満たすとする．ただし，$a>0\text{，}h>0$とする．このとき$h$を$a$の式で表せ．さらに，$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$a$の関数$h$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．