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2005-13442-1101
2005 東京理科大学 理学部B方式
情報数理科,応用物理,応用化学科
2月13日実施
(1)〜(3)合わせて配点45点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)から(3)において, 内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.
(1) A ,B 2 つの袋があり, A には赤玉 1 個と白玉 3 個, B には白玉のみ 3 個が入っている. A から 1 個玉を無作為に取り出し, B に入れよくかき混ぜ, B から 1 個玉を無作為に取り出して A に戻すという作業を 1 回の作業として,これを n 回繰返したとき, A の中に赤玉が入っている確率を P n とする.
(a) P1= ア イ ウ エ である.
(b) Pn+ 1 を P n で表すと, Pn+ 1= オ カ キ ⁢ Pn+ ク ケ となる.
(c) Pn を n を用いて表すと, Pn= コ サ ⁢ ( シ ス セ )n + ソ タ となる.
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(2)
(a) ① sin⁡x+ sin⁡2⁢ x+sin⁡ 3⁢x= チ ⁢ sin⁡x⁢ cos2⁡ x+ ツ⁢ sin⁡ x⁢cos⁡ x である.
② 1+cos⁡ x+cos⁡ 2⁢x= テ ⁢ cos2⁡ x+ ト⁢ cos⁡ x である.
(b) f⁡( x)= sin⁡x+ sin⁡2⁢ x+sin⁡ 3⁢x- 1-cos⁡ x-cos⁡ 2⁢x とおくとき, 0≦x ≦π において f ⁡(x )≧ 0 がなりたつ x の範囲は
ナ ニ ⁢ π ≦x≦ ヌ ネ ⁢ π および ノ ハ ⁢ π≦ x≦ ヒ フ ⁢ π
である.ただし, ヌ ネ ⁢ π< ノ ハ ⁢ π であるとする.
(c) g⁡( x)= -x+ |x | とおくとき,(b)で定めた f⁡ (x ) に対して
∫ 0π2 ⁡ g⁡( f⁡( x)) ⁢dx= - ヘ ホ マ + ミ ム ⁢ 3+ メ モ ⁢ π
が成り立つ.
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(3) logy⁡ x-logx ⁡y= 8 3 と x⁢ y=16 を同時に満たす正の実数 x , y の組は
(x, y)= ( ヤ , ユ ) と (x ,y)= ( ヨ ラ , リ ル )
である.
2005-13442-1104
配点30点
【2】 a ,b ,c ,d を実数とし, g⁡( x) と h⁡ (x ) を g⁡ (x) =a⁢x +b ,h⁡( x)= c⁢x+ d で定める.次の問いに答えよ.
(1) g⁡( x)⁢ h⁡( x) を x 2+x- 3 で割った余りを p ⁢x+q とするとき, p と q を a , b ,c ,d を用いて表せ.
(2) 次が成り立つような行列 A を a , b を用いて表せ.
( pq )= A⁢( c d )
(3) g⁡( x)⁢ h⁡( x) が x2 +x-3 で割り切れるような 0 でない h⁡ (x ) が存在するための必要十分条件を a , b を用いて表せ.ただし 0 はすべての整式で割り切れるものとする.
(4) 自然数 n に対し, {g ⁡(x )} n を x 2+x- 3 で割った余りを α n⁢x+ βn とおく.
列ベクトル ( αn β n ) を(2)で求めた行列 A を用いて, a ,b は使わずに A と n のみによって表せ.
(5) (2 ⁢x+1 )n を x 2+x- 3 で割った余りを求めよ.
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配点25点
【3】 曲線 y= 1x (x >0 ) 上の点 P (a , 1a ) における接線を l とする. k を自然数とするとき,次の問に答えよ.
(1) l 上に 2 点 Q (k ,q) ,R (k +1,r ) をとったとき, q ,r を a と k を用いて表せ.
(2) k≦a≦ k+1 とするとき, l と x 軸および 2 直線 x= k, x=k+ 1 で囲まれた領域の面積を S a とおく.
Sa の k≦ a≦k+ 1 における最大値,およびそれを与える a の値を求めよ.
(3) 上の結果を用いて,すべての自然数 n に対して
13 + 15+ 17 +⋯ +1 2⁢n+ 1< 12 ⁢ log⁡( n+1)
が成り立つことを証明せよ.ここで, log⁡( n+1) は n+ 1 の自然対数を表す.