2005　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤玉$1$個と白玉$3$個，$\mathrm{B}$には白玉のみ$3$個が入っている．$\mathrm{A}$から$1$個玉を無作為に取り出し，$\mathrm{B}$に入れよくかき混ぜ，$\mathrm{B}$から$1$個玉を無作為に取り出して$\mathrm{A}$に戻すという作業を$1$回の作業として，これを$n$回繰返したとき，$\mathrm{A}$の中に赤玉が入っている確率を$P_n$とする．

(a)　$P_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}$である．

(b)　$P_{n+1}$を$P_n$で表すと，$P_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}{P}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$となる．

(c)　$P_n$を$n$を用いて表すと，$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(2)

(a)　$\text{①}$　$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\boxed{\text{チ}}\sin x{\cos }^{2}x+\boxed{\text{ツ}}\sin x\cos x$である．

　$\text{②}$　$1+\cos x+\cos 2x=\boxed{\text{テ}}{\cos }^{2}x+\boxed{\text{ト}}\cos x$である．

(b)　$f(x)=\sin x+\sin 2x+\sin 3x-1-\cos x-\cos 2x$とおくとき，$0\leqq x\leqq \pi$において$f(x)\geqq 0$がなりたつ$x$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\pi$および${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\pi$

である．ただし，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\pi <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\pi$であるとする．

(c)　$g(x)=-x+|x|$とおくとき，(b)で定めた$f(x)$に対して

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}g(f(x))dx=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\pi$

が成り立つ．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(3)　${\log }_{y}x-{\log }_{x}y={\displaystyle \frac{8}{3}}$と$xy=16$を同時に満たす正の実数$x\text{，}y$の組は

$(x,y)=(\boxed{\text{ヤ}},\boxed{\text{ユ}})$と$(x,y)=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}},\boxed{\text{リ}\text{ル}})$

である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とし，$g(x)$と$h(x)$を$g(x)=ax+b\text{，}h(x)=cx+d$で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)h(x)$を$x^2+x-3$で割った余りを$px+q$とするとき，$p$と$q$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　次が成り立つような行列$A$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

$\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$

(3)　$g(x)h(x)$が$x^2+x-3$で割り切れるような$0$でない$h(x)$が存在するための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．ただし$0$はすべての整式で割り切れるものとする．

(4)　自然数$n$に対し，${\{g(x)\}}^n$を$x^2+x-3$で割った余りを${\alpha }_{n}x+{\beta }_n$とおく．

　列ベクトル$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_n\\ {\beta }_n\end{array}\right)$を(2)で求めた行列$A$を用いて，$a\text{，}b$は使わずに$A$と$n$のみによって表せ．

(5)　${(2x+1)}^n$を$x^2+x-3$で割った余りを求めよ．

【３】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})$における接線を$l$とする．$k$を自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$l$上に$2$点$\mathrm{Q}(k,q)\text{，}\mathrm{R}(k+1,r)$をとったとき，$q\text{，}r$を$a$と$k$を用いて表せ．

(2)　$k\leqq a\leqq k+1$とするとき，$l$と$x$軸および$2$直線$x=k\text{，}x=k+1$で囲まれた領域の面積を$S_a$とおく．

$S_a$の$k\leqq a\leqq k+1$における最大値，およびそれを与える$a$の値を求めよ．

(3)　上の結果を用いて，すべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (n+1)$

が成り立つことを証明せよ．ここで，$\log (n+1)$は$n+1$の自然対数を表す．