2005　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】

(1)　複素数平面上の$2$点を$\mathrm{A}(z_1)\text{，}\mathrm{B}(z_2)$とする．また$\mathrm{A}$を中心として，$\mathrm{B}$を負の向きに$30°$回転した点を$\mathrm{C}(z_3)$とする．いま，$z_1=1+i\text{，}{z}_3=-1+4i$のとき

$z_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \left(\frac{\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{3}}{2}\right)}i$

である．また，$3$点$w_k=(1-i)z_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$がつくる三角形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【１】

(2)　$\sin x+\sin y={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\cos x\cos y={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，

$\sin x\sin y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\sin {\displaystyle \frac{x+y}{2}}=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}}$

である．

【１】

(3)　$10$ユーロ，$20$ユーロ，$50$ユーロの紙幣を使って支払いをする．ちょうど$50$ユーロを支払う方法は$\boxed{\text{シ}}$通りある．また，ちょうど$200$ユーロの支払いをする方法は$\boxed{\text{ス}\text{セ}}$通りある．ただし，どの紙幣も十分な枚数を持っているものとし，使わない紙幣があってもよいとする．

【２】　座標平面上の集合

• $\mathrm{A}=\{(x,y)|x^2+{(y-2)}^2\leqq 4\}\text{，}$
• $\mathrm{B}=\{(x,y)|y\geqq 2\}$

に対して，集合

${\mathrm{P}}_t=\{(x,y)|x^2+y^2<t\}$

を考えるとき，次の問いに答えよ．ただし，次の$\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$には，それぞれの選択肢の中の$\text{⓪}\text{〜}\text{⑦}$のうちから正しい番号を選んで入れよ．$\boxed{\text{チ}}$には，正しい数を入れよ．

(1)　$(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cap {\mathrm{P}}_t\ne \phi$かつ$(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cap \overline{{\mathrm{P}}_t}\ne \phi$となる$t$の範囲は$\boxed{\text{ソ}}$である．

（選択肢）

• $\text{⓪}2<t<4$
• $\text{①}2<t\leqq 4$
• $\text{②}2\leqq t<4$
• $\text{③}2\leqq t\leqq 4$
• $\text{④}4<t<16$
• $\text{⑤}4<t\leqq 16$
• $\text{⑥}4\leqq t<16$
• $\text{⑦}4\leqq t\leqq 16$

(2)　$\mathrm{A}\cap \bar{\mathrm{B}}\subset {\mathrm{P}}_t$となる$t$の範囲は$\boxed{\text{タ}}$である．

（選択肢）

• $\text{⓪}2\sqrt{2}<t$
• $\text{①}2\sqrt{2}\leqq t$
• $\text{②}t<2\sqrt{2}$
• $\text{③}t\leqq 2\sqrt{2}$
• $\text{④}8<t$
• $\text{⑤}8\leqq t$
• $\text{⑥}t<8$
• $\text{⑦}t\leqq 8$

(3)　$t=8$のとき，$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \overline{{\mathrm{P}}_t}$の面積は$\boxed{\text{チ}}$である．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{P}(0,p)$を中心とする半径$p$の円$C$と$2$次曲線$Q:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$がある．

(1)　円$C$が$2$次曲線$Q$と原点$\mathrm{O}$以外で交わらないための条件は$p\leqq \boxed{\text{ツ}}$である．

(2)　$p>\boxed{\text{ツ}}$のときにこの円と$2$次曲線の交点の$x$座標は

$x=\pm \sqrt{\boxed{\text{テ}}p-\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}$

である．

(3)　$2$次曲線$Q$と円$C$の交点のうち$x$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とするとき，$\angle \mathrm{OPA}<90°$となるのは$p<\boxed{\text{ニ}}$のときである．

(4)　$\angle \mathrm{OPA}=60°$となるのは$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$のときである．このとき，$2$本の直線$\mathrm{PO}\text{，}\mathrm{AP}$と$2$次曲線$Q$で囲まれた図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}\text{フ}}}}\sqrt{3}$

となる．