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2005-13591-0201
2005 早稲田大学 スポーツ科学部
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】次の各問いに答えよ.
(a) 方程式
27⋅ 27x- 27 23 ⁢x- 729⋅ 27 13 ⁢x +27= 0
の実数解すべての積は ア 2 である.
2005-13591-0202
(b) 関数
y= ( log2⁡ x) 3-log 2⁡ x3 ( 0 <x≦ 2 )
の最大値は イ である.
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(c) 6 は有理数ではないことを証明する.空欄を満たすことにより,証明を完成させよ.
6 が有理数であれば,
6= q p ( p , q は最大公約数が 1 である正の整数)
で表される.両辺をそれぞれ 2 乗すれば, 6= q2 p2 . よって
6⁢p 2= q2 (1)
すなわち, q2 は ウ の倍数である.ここで
q= ウ ⁢ s+ t
とおく.たさし, s は非負整数, t は ウ 未満の非負整数である.このとき, q2= エ ⁢ s2+ オ ⁢ s⁢t+ t2 . したがって, q2 が ウ の倍数であるためには, 0≦t < ウ なので, t= カ でなければならない.このことから
q= キ ⁢ s (2)
となり,(2)を(1)に代入すれば p 2= ウ ⁢ s2 . すると,上と同様にして p は ウ の倍数となる.これは p , q の条件に矛盾するため, 6 は有理数でない.
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(d) 座標平面上の原点 O= (0,0 ) と 2 点 A , B
を頂点とする三角形 OAB の面積を S θ とおく( 0° ≦θ< 90° ).このとき, Sθ は θ = ク °2 で最大値 ケ + コ をとる.
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【2】 次の問いに答えよ.
(a) x に関する次数が 2006 の多項式 Q ⁡(x ) に対して,次の条件
Q⁡( 0)= -1 ,Q⁡ (1) =Q⁡ (2) =Q⁡ (3) =⋯= Q⁡( 2006)= 0
が成立しているとき, Q⁡( 2007)= サ である.
(b) x に関する次数が 2005 の多項式 P⁡ (x) に対して,次の条件
P⁡( k)= 1 k , k=1 , 2 ,3 , ⋯ ,2006
が成立しているとき, P⁡( 2007)= シ である.
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【3】 直交する 2 直線 l , m の方程式が
l:y= a⁢x -b ,m: y=c⁢ x-d ( b> 0 ,d> 0)
で与えられ,放物線 C の方程式が
C:y= α⁢x 2+β ⁢x+ γ
で与えられている. C は点 (-2 ,0) で l と,点 (1 ,0) で m とそれぞれ接する.このとき,次の問いに答えよ.ただし,分数は既約分数で答えること.
(a) a ,b , c ,d , α ,β , γ を求めれば, a= ス , b= セ ,c = ソ , d= タ ,α = チ ツ ,β = テ ト ,γ =- ナ ニ である.
(b) 放物線 C と 2 直線 l , m で囲まれる領域の面積を S とすると, S= ヌ ネ である.