2005 早稲田大学 スポーツ科学部MathJax

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2005 早稲田大学 スポーツ科学部

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】次の各問いに答えよ.

(a) 方程式

27 27x- 27 23 x- 729 27 13 x +27= 0

の実数解すべての積は 2 である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】次の各問いに答えよ.

(b) 関数

y= ( log2 x) 3-log 2 x3 0 <x 2

の最大値は である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】次の各問いに答えよ.

(c)  6 は有理数ではないことを証明する.空欄を満たすことにより,証明を完成させよ.

  6 が有理数であれば,

6= q p p q は最大公約数が 1 である正の整数)

で表される.両辺をそれぞれ 2 乗すれば, 6= q2 p2 よって

6p 2= q2 (1)

すなわち, q2 の倍数である.ここで

q= s+ t

とおく.たさし, s は非負整数, t 未満の非負整数である.このとき, q2= s2+ st+ t2 したがって, q2 の倍数であるためには, 0t < なので, t= でなければならない.このことから

q= s (2)

となり,(2)を(1)に代入すれば p 2= s2 すると,上と同様にして p の倍数となる.これは p q の条件に矛盾するため, 6 は有理数でない.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】次の各問いに答えよ.

(d) 座標平面上の原点 O= (0,0 ) 2 A B

を頂点とする三角形 OAB の面積を S θ とおく( 0° θ< 90° ).このとき, Sθ θ = °2 で最大値 + をとる.

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易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(a)  x に関する次数が 2006 の多項式 Q (x ) に対して,次の条件

Q( 0)= -1 Q (1) =Q (2) =Q (3) == Q( 2006)= 0

が成立しているとき, Q( 2007)= である.

(b)  x に関する次数が 2005 の多項式 P (x) に対して,次の条件

P( k)= 1 k k=1 2 3 2006

が成立しているとき, P( 2007)= である.

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2月13日実施

易□ 並□ 難□

【3】 直交する 2 直線 l m の方程式が

l:y= ax -b m: y=c x-d b> 0 d> 0

で与えられ,放物線 C の方程式が

C:y= αx 2+β x+ γ

で与えられている. C は点 (-2 ,0) l と,点 (1 ,0) m とそれぞれ接する.このとき,次の問いに答えよ.ただし,分数は既約分数で答えること.

(a)  a b c d α β γ を求めれば, a= b= c = d= α = β = γ =- である.

(b) 放物線 C 2 直線 l m で囲まれる領域の面積を S とすると, S= である.

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