2005　早稲田大学　理工学部MathJax

【１】　$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)$を頂点とする四面体を考える．ただし，$a\text{，}b\text{，}c>0$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の各面に接する球の中心の座標を求めよ．

【２】　円周上に$m$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_m$がこの順に配置され，各点${\mathrm{P}}_i$に一つの実数$c_i$が与えられている（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m$）．ただし$m\geqq 3$とする．さらに，$(c_1,c_2,\cdots ,c_m)$は条件

(＊)　各点の値は，隣接する$2$点の値の和に等しい

を満たす．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$m=3$の場合に$(c_1,c_2,c_3)$の値を求めよ．

(2)　$c_1=a\text{，}{c}_2=b$とおくとき$c_7$を$a\text{，}b$で表せ．ただし$m\geqq 7$とする．

(3)　条件(＊)を満たし，かつ$c_1\ne 0$となる$(c_1,c_2,\cdots ,c_m)$が存在するのは$m$がどのような自然数の場合か．$m$が満たすべき必要十分条件を求め，その理由を簡単に述べよ．

【３】　袋の中に$1$から$n$までの番号のついた$n$個の玉が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，番号を調べてもとに戻すことを$r$回行うとき，取り出された玉の番号の最大値を$X$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，$X$がちょうど$k$となる確率を求めよ．

(2)　$r=2$のとき，$X$の期待値を求めよ．

(3)　一般の$r$に対して$X$の期待値を$E_n$とおくとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{n}}$

を求めよ．

【４】　複素数$z$が$|z|=1$を満たしながら動くとき，次の式で定まる$w$について以下の問に答えよ．

$w={\displaystyle \frac{{(1+z)}^2}{2}}$

(1)　$w$の虚部のとる値の範囲を求めよ．

(2)　$w$が複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ．（複素数平面上の長さは座標平面上の長さと同じとする．）

【５】　媒介変数$t$により

$\{\begin{array}{l}x=t+e^{(|t|-1)}\\ y=-t+e^{(|t|-1)}\end{array}$

と表される$xy$平面上の曲線$C$について，以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$と座標軸が接する点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

(3)　(2)で求めた体積を$V$とするとき，$V\text{，}{\displaystyle \frac{e^2}{6}}\text{，}{\displaystyle \frac{5}{4}}$を小さい順に並べよ．ただし，$3.14<\pi <3.15$および$2.71<e<2.72$は既知とする．