2005　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　複素数平面上で$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)\text{，}\mathrm{B}(-2+2\sqrt{3}i)$とするとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{ア}}\sqrt{3}$である．

【２】　さいころを$20$個同時に投げたときに$1$の目が出たさいころの個数を数える試行を考える．この試行では$1$の目の出たさいころの個数が$\boxed{\text{イ}}$である確率が$1$番大きくなる．

【３】　座標空間内に$xy$平面と交わる半径$5$の球がある．その球の中心の$z$座標の値が正であり，その球と$xy$平面の交わりが作る円の方程式が

$x^2+y^2-4x+6y+4=0$

であるとき，その球の中心の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

【４】　$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a_{n+1}}^5={a_{n+2}}^3{a_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は

$a_n=2^P$

ただし，

$P=3\{\boxed{\text{カ}}-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{3}}\right)}^{n-1}\}$

である．

【５】　角$\theta$は$0°<\theta <90°$であり，等式${\sin }^{2}2\theta +\sin 2\theta \sin \theta +\cos 2\theta =1$が成り立つ．このとき

$\tan \theta =\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

である．

【６】　同一平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{PQR}$があり

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\\ \overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\\ \overrightarrow{\mathrm{RA}}+\overrightarrow{\mathrm{RB}}+\overrightarrow{\mathrm{RC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{array}$

が成立している．このとき

$\text{三角形}\mathrm{ABC}\text{の面積}:\text{三角形}\mathrm{PQR}\text{の面積}=\boxed{\text{ケ}}:1$

である．

【７】　$2$つの放物線

$y={(x-2a)}^2+a^2\text{，}y=-{(x-a)}^2+a$

が，異なる$2$点で交わるような定数$a$の値の範囲は

$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{3}}$

である．定数$a$の値がこの範囲にあるとき，$2$つの放物線によって囲まれる部分の面積$S$は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{3}}$

のとき最大となり，そのとき

$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

【８】　方程式$x^3-9x^2+3x-a=0$が異なる$3$つの正の解をもつような，定数$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{ス}}<a<\boxed{\text{セ}}+\boxed{\text{ソ}}\sqrt{2}$

である．

【９】　$a$は$1<a<\sqrt{2}$であるとする．このとき

$b={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+{\displaystyle \frac{2}{a}})$

とすると，

• $b-\sqrt{2}={\displaystyle \frac{{(a-\sqrt{\boxed{\text{タ}}})}^{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}a}}$
• $(\sqrt{2}-a)-(b-\sqrt{2})={\displaystyle \frac{(\sqrt{2}-a)(\boxed{\text{テ}}a-\sqrt{2})}{\boxed{\text{ト}}a}}$

である．これを利用すると，次の$\boxed{\text{ナ}}$が成り立つことがわかる（$\boxed{\text{ナ}}$には以下の$1$から$6$のいずれかを選択しその番号を記入せよ）．

• 1.　$1<a<\sqrt{2}<b$（ただし，$|\sqrt{2}-a|>|\sqrt{2}-b|$）
• 2.　$1<a<\sqrt{2}<b$（ただし，$|\sqrt{2}-a|<|\sqrt{2}-b|$）
• 3.　$1<a<b<\sqrt{2}$
• 4.　$1<b<a<\sqrt{2}$
• 5.　$b<1<a<\sqrt{2}$
• 6.　1.〜5.以外

【７】　$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}{\displaystyle -\frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{\pi }{2}}$のとき，$x_0=\tan \alpha \text{，}{y}_0=\tan \beta$とすると$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$は曲線

$(x+1)(y+1)=\boxed{\text{コ}}\text{（}x>-1\text{）}$

上にある．この曲線上の点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$での接線の方程式は

$y-y_0={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{{(1+x_0)}^2}}(x-x_0)$

である．この接線と直線$x=-1$との交点を$\mathrm{Q}$とすると

$\mathrm{Q}(-1,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}-x_0}{1+x_0}})$

となり，また直線$y=-1$との交点を$\mathrm{R}$とすると

$\mathrm{R}(1+\boxed{\text{ス}}{x}_0,-1)$

となる．したがって，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離，および$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は等しくなり

$\mathrm{PQ}=\mathrm{PR}=\sqrt{{(1+x_0)}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{{(1+x_0)}^2}}}$

となる．この距離が最小になるのは，

$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{タ}}}}$

のときである．

【８】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)\text{，}\mathrm{D}(2,3,0)$がある．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$\mathrm{CP}$と線分$\mathrm{PD}$の長さの和$\mathrm{CP}+\mathrm{PD}$が最小となるような点$\mathrm{P}$の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{チ}}}{7},\frac{\boxed{\text{ツ}}}{7},0)}$

である．

【９】

${\displaystyle {\int }_{-1}^2}{\displaystyle \frac{3}{1-x+x^2}}dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{3}}{3}}\pi$