2005　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の空欄にあてはまる数値を解答欄に記入せよ．

(1)　$3$点$\mathrm{A}(1,4,3)\text{，}\mathrm{B}(5,3,2)\text{，}\mathrm{C}(3,2,4)$を頂点とする三角形がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\boxed{\text{ア}}$度である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(3,4,3)\text{，}\overrightarrow{b}=(3,1,4)\text{，}\overrightarrow{c}=(2,1,2)$がある．このとき，$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$が直交するならば，実数$t=\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　方程式${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{3z}=\frac{4}{3}}\cdots \text{①}$

を満たす正の整数の組$(x,y,z)$について考える．

(1)　$x=1$のとき，正の整数$y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

(2)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　方程式$\text{①}$を解け．

【３】　次の問いに答えよ．解答欄に答のみ記入せよ．

(1)　$a^2+b^2+c^2=1$を満たす複素数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$x=a+b+c$とおく．

　このとき，$ab+bc+ca$を$x$の$2$次式で表せ．

(2)　$a^2+b^2+c^2=1\text{，}{a}^3+b^3+c^3=0\text{，}abc=3$をすべて満たす複素数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$x=a+b+c$とおく．

　このとき，$x^3-3x$の値を求めよ．

【４】　$y=(a-2)x^2+2bx+1$のグラフ$l$と，$y=(a+2)x^2-2bx+b^2$のグラフ$m$について，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b$は実数の定数とする．

(1)　$l$と$m$が，直線と放物線の組になる条件を求めよ．

(2)　(1)の条件が成りたつとき，$l$と$m$の交点の座標を求めよ．

(3)　(1)の条件が成りたつとき，$l$と$m$が囲んでできる図形の面積を求めよ．