2005　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(1)　$3$次方程式

$x^3-p{x}^2+11x-q=0$

が$3$つの連続する正の整数を解とするとき，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(2)　

${\displaystyle {\int }_{-2}^2}(|x^2-2x|+|x+1|+|x-1|)dx=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(3)　$1$から${10}^5=100000$までのすべての整数を，順に十進法で紙に書いたとすると，数字$7$を全部で$\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$回書くことになる．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(4)　座標空間において，頂点の座標がすべて整数である正四面体の中で，体積が最小であるものの体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】　平面上に，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円がある．その円周上に，反時計回りの順に点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6$の$6$点がある．

${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2={\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3={\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4=4\text{，}{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5={\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6={\mathrm{P}}_6{\mathrm{P}}_1=7$

である．次の設問に答えよ．

(1)　$\angle {\mathrm{P}}_3\mathrm{O}{\mathrm{P}}_5$の大きさを求めよ．

(2)　円の半径$r$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}p$を正の整数とする．初項$a\text{，}$公比${\displaystyle \frac{p+1}{p}}\text{，}$項数$n$の等比数列

$a_k=a{\left({\displaystyle \frac{p+1}{p}}\right)}^{k-1}\text{，}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$

で次の条件を満たしているものを考える．

• (ⅰ)　各項はすべて整数
• (ⅱ)　$100\leqq a_k\leqq 1000\text{，}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$

　次の設問に答えよ．

(1)　$p=1$の数列の中で，項数$n$が最大となるものの項数を求めよ．

(2)　条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすすべての数列の中で，項数$n$が最大となるものを求めよ．