2005　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$x\text{，}y$は，次の$2$つの不等式

• $y\geqq x^2-4x+5$
• $y\leqq -2x+5$

を満たす．次の問に答えよ．

(1)　点$(x,y)$の存在する領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

(2)　$x+y$のとりうる値の最大値と最小値，およびそのときの$(x,y)$を求めよ．

(3)　${\log }_4{2}^x+{\log }_{64}{2}^y$のとりうる値の最大値と最小値，およびそのときの$(x,y)$を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を考える．

• $x_1=1$
• $y_1=5$
• $x_{n+1}=x_n+y_n$
• $y_{n+1}=5x_n+y_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問に答えよ．

(1)　$x_n$および$y_n$をそれぞれ$5$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　$a_n=x_n+c{y}_n$とおいたとき，数列$\{a_n\}$が等比数列となるように定数$c$の値を定め，$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$x_n$および$y_n$を$n$の式で表せ．

【３】　自然数$n$に対して，$n$以下の自然数で$n$との最大公約数が$1$であるような自然数の個数を$f(n)$とする．

　例えば，$n=12$に対しては，このような自然数は，$1\text{，}5\text{，}7\text{，}11$の$4$個なので，$f(12)=4$である．また，$f(1)=1\text{，}$素数$p$に対しては$f(p)=p-1$である．

　次の問に答えよ．

(1)　$f(77)$の値を求めよ．

(2)　$f(pq)=24$となる$2$つの素数$p\text{，}q$（ただし，$p<q$とする）の組を求めよ．

(3)　$k\text{，}n$を自然数とするとき，$f(2^k{3}^n)$の値を$k$と$n$の式で表せ．