2005　南山大　数理情報学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$3$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 4\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -4& -1\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -7& 2\end{array}\right)$を考える．このとき，$(A-B)C=\boxed{\text{ア}}$であり，$A^{2}C-ABC=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　整式$x^3+13x^2+36x-42$を整式$x^2+6x-7$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ウ}}$であり，方程式$x^3+13x^2+36x-42=0$の解は$x=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$の範囲で，$y=\cos x$のグラフと$y=\tan x$のグラフは$2$点で交わっている．交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とおくとき，$\sin \alpha =\sin \beta =\boxed{\text{オ}}$であり，$2$つの交点を結んでできる線分の中点の座標は$({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},{\displaystyle \frac{\cos \alpha +\cos \beta }{2}})=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　複素数平面上の異なる$2$点$w_0\text{，}{z}_0$を結んでできる線分の中点を$w_1$とし，$w_1$を中心に$z_0$を正の向きに$\theta \text{（}0<\theta \leqq \pi \text{）}$だけ回転させた点を$z_1$とする．このとき，$z_0$と$w_1$と$\theta$で$z_1$を表すと，$z_1=\boxed{\text{キ}}$である．また，${{\displaystyle \left(\frac{z_1-w_1}{z_0-w_0}\right)}}^2$の実部が$0$であるとき，$\theta =\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　原点$\mathrm{O}$から出発して座標平面上を動く点$\mathrm{A}$がある．$\mathrm{A}$の座標を$(u,v)$とおくとき，$\mathrm{A}$は$4$個の点$(u+1,v)\text{，}(u,v+1)\text{，}(u-1,v)\text{，}(u,v-1)$のいずれか$1$つにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$の確率で移動する．このような移動を続けて$3$回行った結果，$\mathrm{A}$が到達する点の座標を$(X,Y)$とする．定数$a\text{，}b$に対し，$X=a$かつ$Y=b$となる確率を$p(a,b)$と書くことにすると，$p(3,0):p(2,1):p(1,0)=1:\boxed{\text{ケ}}$である．また${(X+Y)}^2$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{g}$とおく．ただし，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$は，$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}\text{，}$${|\overrightarrow{a}|}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}({|\overrightarrow{b}|}^2+{|\overrightarrow{c}|}^2)$を満たす．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を示せ．

(2)　点$\mathrm{E}$は直線$\mathrm{OG}$上にあり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{EA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{g}$とおくとき，$t$の値を求めよ．

(3)　(2)の$\mathrm{E}$のうち，$t>0$に対応する$\mathrm{E}$を考え，四面体$\mathrm{EABC}$の体積を$V$とする．$V$を$\left|\overrightarrow{b}\right|$と$\left|\overrightarrow{c}\right|$を用いて表せ．

【３】　$k$を$2$以上の整数とし，関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^k}}\text{（}x>0\text{）}$と曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)　$C$と$x$軸および$2$つの直線$x=1\text{，}x=t\text{（}t>1\text{）}$で囲まれた部分の面積を$S_t$とおき，$S=\underset{t\to \infty }{\lim }{S}_t$とおく．$S_t$と$S$を求めよ．

(2)　次の条件(P)を満たす初項$1$の数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の一般項を求めよ．

(P)　$C$上の点$(a_n,f(a_n))$における$C$の接線は点$(a_{n+1},0)$を通る．

(3)　(2)の$\{a_n\}$に対して，$3$点$(a_n,0)\text{，}(a_n,f(a_n))\text{，}(a_{n+1},0)$を頂点とする三角形の面積を$T_n$とおき，$T={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{T}_n$とおく．$T_n$と$T$を求めよ．

(4)　(1)の$S$と(3)の$T$に対して，$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T}{S}}$を求めよ．ただし，$\underset{k\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{k}})}^k=e$（$e$は自然対数の底）である．