2005　南山大　経済学部2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の$7$個の数字から，異なる$4$個の数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，偶数は$\boxed{\text{ア}}$通りあり，その偶数のなかで$9$の倍数は$\boxed{\text{イ}}$通りある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{21}$である三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$であり，この三角形に内接する円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a$が正の実数であるとき，関数$f\left(\theta \right)=\cos 2\theta -2a\cos \theta +a+1$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，最小値が正の値をとるとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　関数$f(x)=x^2-4x+5\text{，}g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+4x-2\text{，}h(x)=2x-3$がある．このとき，$f^{\prime }(x)\geqq 0\text{，}{g}^{\prime }(x)\geqq 0\text{，}{h}^{\prime }(x)\geqq 0$を同時にみたす$x$の範囲を$a\leqq x\leqq b$と表すと，$(a,b)=\boxed{\text{キ}}$である．また，$2$直線$x=a\text{，}x=b$と曲線$y=f(x)$と直線$y=h(x)$とで囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$この$2$直線と$y=g(x)$と$y=h(x)$とで囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　実数$x\text{，}y$が${\log }_{\frac{1}{2}}(y+3x-7)={\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)-2{\log }_4(5-x)$をみたすとき，$x$の値の範囲は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$y$の値の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}2x-y-2\leqq 0\\ x-2y+2\geqq 0\\ x+3y-3\geqq 0\end{array}$

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　点$(x,y)$がこの領域内を動くとき，$k=y-2x^2$の最大値$k_0$と最小値$k_1$を求めよ．

(3)　$y=2x^2+k_1$が点$(1,a)$を通る$2$本の接線をもち，この$2$接線が垂直に交わるとき，実数$a$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　短針のみの時計がある．$12$時の位置から始めて，硬貨を投げ，表ならば短針を$2$時間進め，裏ならば$2$時間戻す．硬貨を$4$回投げた結果，短針が$12$時を指している確率は$\boxed{\text{ア}}$である．また，硬貨を$6$回投げた結果，$4$時を指している確率の$\boxed{\text{イ}}$倍である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{21}$である三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，この三角形に内接する円に接し，辺$\mathrm{BC}$に平行な直線が辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交わる点をそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$f(x)+2g(x)=3x^2\text{，}2f^{\prime }(x)+3g^{\prime }(x)=3x^2+6x\text{，}f(0)=2$をみたす関数$f(x)$と$g(x)$がある．このとき，$g(x)=\boxed{\text{オ}}$であり，$f(x)+g(x)=0$をみたす$x$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$n$を$3$以上の自然数，${(3-x^2)}^n$の展開式における$x^{2k}$の係数を$a_k$とするとき，$a_3$を$n$で表すと$\boxed{\text{キ}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{a}_k=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$x$の$3$次式$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りを$A\text{，}x-1$で割った余りを$B$とするとき，$A-B=0$は$x$についての恒等式となる．このとき，$P(0)$の値を$P(1)$と$P(-1)$で表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，$P(x+1)$を$x-1$で割った余りを$P(1)$と$P(-1)$で表すと$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$a$を実数とする関数

$f(\theta )=2({\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta )-4\sin \theta \cos \theta -a{(\sin \theta -\cos \theta )}^2-3(\sin \theta -\cos \theta )$

がある．ただし，$0°\leqq \theta <180°$とする．

(1)　$\sin \theta -\cos \theta =t$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$を$t$の関数$g(t)$として表せ．

(3)　$g(t)$が極大値をもつような$a$の範囲を求めよ．

(4)　$a=6$のとき，$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2-a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義された数列$\{a_n\}$がある．

(1)　一般項$a_n$を$n$で表せ．

(2)　$a_n<{\displaystyle \frac{1}{100}}$となる最小の$n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を$n$で表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k(1-a_{k+1})$を$n$で表せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の$6$個の数字から，異なる$4$個の数字を選んで$4$桁の整数をつくる．このとき，$3$の倍数は$\boxed{\text{ア}}$通りあり，そのなかで偶数は$\boxed{\text{イ}}$通りある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}B=2\theta$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．これに内接する円に接し，辺$\mathrm{BC}$に平行な直線が辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交わる点をそれぞれ点${\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{E}}_1$とし，線分${\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1$の長さを$a_1$とする．さらに三角形$\mathrm{A}{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1$に内接する円に接し，辺${\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1$に平行な直線と辺$\mathrm{A}{\mathrm{D}}_1\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{E}}_1$との交点を${\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{E}}_2\text{，}$線分${\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2$の長さを$a_2$とするという操作を行い，これを順次繰り返す．このとき，$n$回目の操作で引くことができる線分${\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n$の長さは$a_n=\boxed{\text{ケ}}$である．また，この操作を続けるとき，引かれた線分の長さの和の極限${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の値を$\cos B$で表すと$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$k$を正の実数とする関数$f(x)=\log (2x-\sqrt{x^2-k})$がある．

(1)　$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }x{f}^{\prime }(x)$の値を求めよ．

(4)　$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，$k$の値の範囲とその$2$つの解を求めよ．