2005　南山大　外国語・法学部2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　関数$f(x)={\log }_2(3-|x+1|)$が定義できる$x$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$であり，方程式$f(x)=1$を解くと$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$x$に関する$2$次方程式$x^2-2x\cos \theta +3{\sin }^2\theta =0$が実数の解をもつとき，$\sin \theta$の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．このとき，$\theta$の範囲を$0°\leqq \theta \leqq 90°$で求めると$\theta$の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　原点を通る直線のうち，直線$y=-x+1$となす角が $60°$であるものの傾きは$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　数字$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$が$1$つずつ書かれた$5$種類のカードが$2$枚ずつ，合計$10$枚ある．これらのカードを $\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ配り，残った$2$枚のカードは配らない．このとき，配られた$2$枚のカードの数字の和が$4$人とも$5$になる配り方は$\boxed{\text{キ}}$通りあり，$4$人とも同じ数になる配り方は全部で$\boxed{\text{ク}}$通りある．

【２】　$0<a<1$とし，関数$f(x)=4|ax-a^2|$を考える．$4$つの不等式$y\leqq f(x)\text{，}y\geqq x^2-1\text{，}y\geqq 0\text{，}x\geqq a$を同時に満たす領域の面積を$S_1$とし，$3$つの不等式$y\leqq f(x)\text{，}y\geqq 0\text{，}0\leqq x\leqq a$を同時に満たす領域の面積を$S_2$とする．

(1)　$y=f(x)$と$y=x^2-1$のグラフを$x\geqq 0$の範囲で同じ座標平面上にかけ．ただし，$2$つのグラフの共有点および各グラフと座標軸との共有点の座標を明示せよ．

(2)　$S=S_1-S_2$とおくとき，$S$を$a$で表せ．

(3)　$a$が動くとき，(2)の$S$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．