2005　南山大　外国語学部2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$360$の正の約数のうち$756$の約数でないものは$\boxed{\text{ア}}$個ある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$2$つの曲線$y=x^2$と$x=y^2$によって囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$0°\leqq \theta \leqq 180°$のとき，$f(\theta )=\cos 2\theta +2\sqrt{3}\cos \theta$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とすると，${15}^{25}$は$\boxed{\text{オ}}$桁の数であり，その最高位の数字は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　さいころを$4$回投げて出た目をすべて掛け合わせた数を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$が$5$で割り切れる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$\mathrm{A}$が$9$で割り切れない確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(6)　直線$y=3x+2$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．$\mathrm{P}$から$x$軸に引いた垂線を$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{H}$によってつくられる三角形$\mathrm{OPH}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$が極大値をとる$t$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また$S(t)$がその極大値よりも大きな値をとるときの$t$の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上で，円$C:x^2+y^2=1$とその外部にある点$\mathrm{P}(a,b)$を考える．$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$つの接線の接点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{MN}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$を中心とし，$2$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る円の方程式を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$を通る直線の方程式が$ax+by=1$で表されることを示せ．

(3)　$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{P}$が$x-y+2<0$をみたす範囲にあるとき，$\mathrm{Q}$の範囲を求め，その領域を図示せよ．