2005　同志社大　社会学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$ に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$ の中に記入せよ．

(1)　多項式$P_n(x)$は

$P_0(x)=1\text{，}{P}_{n+1}(x)=(1+x)P_n(x)+2\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとする．$P_n(x)$の定数項は$\boxed{\text{ア}}$である．$n\geqq 1$であるとき，$P_n(x)$の$x$の係数は$\boxed{\text{イ}}$で，$n\geqq 2$のとき$P_n(x)$の$x^2$の係数は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$x\text{，}y$が$x^2+y^2=9$をみたすとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．また，$x+y^2$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$x^2-xy-2y^2=16$をみたす整数$x\text{，}y$の組は全部で$\boxed{\text{キ}}$組あり，その中で$x$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

　また，$x^2-4xy+5y^2=25$をみたす整数$x\text{，}y$の組は全部で$\boxed{\text{ケ}}$組あり，その中で$x$の最大値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．正六角形の頂点を表す$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の文字が$1$文字ずつ書いてある$6$枚のカードを袋の中に入れる．よくかきまぜた後，袋の中から$3$枚のカードを同時に取り出し，それらのカードに書かれた文字が表す頂点を結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　合同な三角形を同じものとみなすとき，異なる三角形は何通りできるか．

(2)　面積が最大の三角形の面積と，その三角形ができる確率を求めよ．

(3)　面積が最小の三角形の面積と，その三角形ができる確率を求めよ．

(4)　三角形の面積の期待値を求めよ．

【３】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{C}$の側への延長上に$\mathrm{AC}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$を結ぶ．$\angle \mathrm{ABC}=\theta \text{，}\mathrm{BD}=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABD}$の面積を$\theta$と$a$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ACD}$の面積比が$\sqrt{3}:1$となるとき，$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABD}$の面積が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}{a}^2$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．