2005　同志社大　工学部Ａ日程2月5日実施MathJax

【１】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{は定数}\text{）}$に内接し，辺$\mathrm{AB}$が$x$軸に平行である長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$は第$1$象限内の点とする．次の文中の$\boxed{}$に適する$a，b$の式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　この楕円の面積は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　長方形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値は$\boxed{\text{イ}}$であり，そのときの頂点$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$である．

(3)　長方形$\mathrm{ABCD}$の周の長さ$s$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，そのときの頂点$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$である．

(4)　長方形$\mathrm{ABCD}$を$y$軸のまわりに回転させてできる円柱の体積を$V$とする．$V$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$であり，そのときの頂点$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$である．

【２】　曲線$C$が媒介変数$t$を用いて

$C:x=t+\sin t，y=1-\cos t(0\leqq t\leqq \pi )$

で与えられている．次の問いに答えよ．

(1)　$0<t<\pi$の範囲で，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$で表せ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

(3)　曲線$C\text{，}x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}$はどの$2$つも平行でない$4$つの空間ベクトルで，その大きさは

$\left|\overrightarrow{a}\right|=1，$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2，$$\left|\overrightarrow{c}\right|=3，$$\left|\overrightarrow{d}\right|=4$

であり，また，どの$2$つのベクトルのなす角も等しいとする．ある実数$x，y，z$に対し，

$x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

が成立するとする．このとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$x，y，z$のそれぞれの値を求めよ．

【４】　定数$a(1<a<2)$に対して，曲線$y=a^x$上の点$(t,a^t)(0\leqq t\leqq 1)$における接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．また，$l$と$y$軸の交点を$(0,b(t))$とし，$b(t)$の最小値を$a$で表せ．

(2)　接線$l$と$x$軸および$2$直線$x=0，x=1$で囲まれた台形の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$の最大値を$a$で表せ．

(4)　$S(t)$の最小値を$a$で表せ．