2005　同志社大　法学部2月9日実施MathJax

【１】　次の文中の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$2x+5y=2005$をみたす正の整数$x\text{，}y$の解の組$(x,y)$は全部で$\boxed{\text{ア}}$組ある．これらの解の組に含まれるすべての$y$の和は$\boxed{\text{イ}}$である．また，すべての解の組$(x,y)$に対して積$xy$をつくるとき，その最大値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の文中の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$n$を自然数として${(\sqrt{2}+\sqrt{5})}^{2n-1}=a_n\sqrt{2}+b_n\sqrt{5}$で整数の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を定める．このとき，$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$で表すと

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\boxed{\text{オ}}{a}_n+\boxed{\text{カ}}{b}_n\\ b_{n+1}=\boxed{\text{キ}}{a}_n+\boxed{\text{ク}}{b}_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となるから，数列$\{c_n\}$を$c_n=2{a_n}^2-5{b_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義すれば，数列$\{c_n\}$は公比$\boxed{\text{ケ}}$の等比数列である．よって，数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{コ}}$である．したがって，$a_n\sqrt{2}-b_n\sqrt{5}$を$n$で表せば$\boxed{\text{サ}}$である．よって数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して$4^n-1$が$3$で割り切れることを示せ．

(2)　$2^n+1$が$3$で割り切れるような自然数$n$のみたすべき条件を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して

$p(2^n+1)+q(2^{n+1}+1)$

を$3$で割ると余りが$1$であるような自然数の組$(p,q)$の中で$p+q$が最小となる組をすべて求めよ．

【３】　$4$個のサイコロを準備する．$1$回目の試行ではこれら$4$個のサイコロをふって$1$の目が出たサイコロをすべて取り除く．$2$回目の試行では$1$回目で残ったサイコロをふって$1$の目が出たサイコロをすべて取り除く．このように前の回の試行で残ったサイコロをふって$1$の目が出たサイコロをすべて取り除くという試行を繰り返し，サイコロがすべて取り除かれたら，以降の試行は行わない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の試行で，サイコロがすべて残る確率と，サイコロがすべて取り除かれる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$回目の試行が行われ，サイコロがすべて残る確率を求めよ．

(3)　$4$個のうち，特定の$1$個のサイコロに注目し，これが$n$回以内の試行により取り除かれる確率を求めよ．

(4) 　$n$回以内の試行により，サイコロがすべて取り除かれる確率を求めよ．