2005　立命館大　文系Ａ，経済ＭＡ方式2月3日実施MathJax

【１】　右の図のように座標平面上に$9$個の点がある．この$9$個の点の中から無作為に$3$個の点を選び，これらを頂点とする三角形をつくることを考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　選んだ$3$個の点で三角形ができない選び方は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

(2)　面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}$の三角形をつくる$3$個の点の選び方は$\boxed{\text{イ}}$通り

面積が$1$の三角形の場合は$\boxed{\text{ウ}}$通り

面積が${\displaystyle \frac{3}{2}}$の三角形の場合は$\boxed{\text{エ}}$通り

面積が$2$の三角形の場合は$\boxed{\text{オ}}$通り

である．

(3)　(1)の場合を面積$0$の三角形と考えると，できあがる三角形の面積の期待値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)，\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2)(\alpha <0，\beta >0)$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式は

$y=(\boxed{\text{キ}})x-\boxed{\text{ク}}$

である．

(2)　放物線$C$の接線のうち，直線$\mathrm{AB}$と平行であるものは

$y=(\boxed{\text{ケ}})x-\boxed{\text{コ}}$

である．また，その接点を$\mathrm{P}$とすると，点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$▵\mathrm{APM}$が直角二等辺三角形になるとき$\angle \mathrm{AMP}=90°$ならば，$2$点$\mathrm{A}，\mathrm{B}$の座標は

$\mathrm{A}(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})，\mathrm{B}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$

である．

　また，$\angle \mathrm{APM}=90°$ならば，

$\mathrm{A}(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})，\mathrm{B}(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$

である．

　$\angle \mathrm{MAP}=90°$ならば，

$\mathrm{A}(\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}})，\mathrm{B}(\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}})$

である．

【３】　同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}，\mathrm{A}，\mathrm{B}$をとり，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=a，\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BO}}=b，\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$a，b，c$で表わせ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上に位置する．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小値をとるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}，\overrightarrow{\mathrm{OB}}，a，b$で表わせ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最小値を$a，b，c$で表わせ．