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2005-14891-0301
2005 立命館大学 理工学部,情報理工学部A方式2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】(1) t を実数とする.整式 f ⁡(x ) を (x− t)2 で割った余りは ア ⁢ f ′⁡ ( t)+ f⁡ (t ) である.よって,方程式 f ⁡(x ) の解 t がこの方程式の重解であるための必要十分条件は, f′ ⁡( t) = イ である.ただし, t が f ⁡(x )= 0 の重解であるとは, f⁡ (x ) が (x− t)2 で割り切れることである.
(2) a, b を実数として 4 次式 f ⁡(x )=3 ⁢x4 −4 ⁢x3 −6⁢ a2⁢ x2+ 12⁢a 2⁢x +b について考える. f⁡( x)= 0 が実数の重解を持つのは b が a を用いて b = ウ , または b = エ , または b = オ と表される 3 つの場合である.重解が 2 つあるのは,条件 a>0 , a≠1 のもとでは a = カ , b= キ のときで,その 2 つの重解は ク と ケ である.
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【2】 f⁡(x ) , g⁡ (x ) は − ∞< x< ∞ で定義された実数値関数で, f ⁡( 0) 2 +g ⁡ (0 ) 2 >0 とする.また,任意の実数 x , y に対して,次の等式 ① , ② を満たしているものとする.
f⁡( x+y )=f⁡ (x )⁢ f⁡(y )−g ⁡(x ) ⁡g⁡ (y) ⋯ ①
g⁡( x+y )=f⁡ (x )⁢ g⁡(y )+f ⁡(y ) ⁡g⁡ (x ) ⋯②
(1) f⁡(0 ) と g ⁡(0 ) を求め,その計算過程も含めて コ に記入せよ.
(2) 等式 ① , ② より, y≠0 に対して
f ⁡( x+ y)− f⁡( x) y= サ ⁢ f ⁡(x )− シ ⁢ g ⁡(x )
g ⁡(x+ y) −g ⁡(x ) y= シ ⁢ f⁡(x )+ サ ⁢ g⁡ (x )
である.ただし, サ , シ は y の関数である.したがって,もし, f⁡( x), g⁡( x) が x= 0 で微分可能で f ′⁡ ( 0)=2 , g′⁡ ( 0)= 1 であるならば, f⁡( x), g⁡( x) はすべての x で微分可能で,
f′ ⁡( x)= ス
g ′⁡ (x )= セ
という関係式が成り立つ.このとき, F⁡ (x ) =log⁡ { f⁡ (x )2 +g ⁡(x ) 2 } とおくと,その導関数は定数で F ′⁡ (x )= ソ となる.このことと(1)の結果より F ⁡(x )= タ となるので, f⁡ ( x)2 +g⁡ (x) 2 = チ となることがわかる.
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【3】 xy 平面において,放物線 y =x2 -1 の一つの接線を l1 :y=k ⁢x+ a とする.放物線 y=− (x-4 )2 の接線で, l1 に平行なものを l 2:y= k⁢x+ b とする.ただし, k>0 とする.
(1) このとき, a, b は k を用いて a= ツ ,b = テ と表される.
(2) a>b となるための k の範囲は ト である.このとき,接線 l 1 上の任意の点と接線 l 2 との距離 d は k を用いて d = ナ と表される.これより, d が最大となるのは k = ニ のときで,最大値は ヌ である.
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【4】 等式
(a +b )N = ∑k=0 N Ck N ⁢a k⁢b N−k , Ck N = N!k! ⁢(N− k)!
を二項定理という.これを利用して以下の設問に答えよ.
表の出やすい銅貨を N 回投げる.そのうち,表が偶数回( 0 回を含む)出る確率を P e とし,表が奇数回出る確率を P o として, Pe と P o の大小関係を調べたい.
まず,奇数の N =2⁢ m+1 について調べてみる. 1 回投げて表が出る確率を p とすれば, N 回のうちで表が k 回でる確率は Ck N ⁢ ネ であるから,
Pe= ∑k =0m ⁡ ノ ,P o= ∑ k=0 m⁡ ハ
となる.ここで二項定理を応用すれば, Pe −Po = ヒ となるが,題意より p > 12 であるから, Pe と P o の大小関係は Pe フ Po となる.
一方, N が偶数のとき,上の結果 Pe− Po= ヒ はそのまま成立するので P e と P o の大小関係は Pe ヘ Po である.