2005　立命館大　文系Ａ，経済ＭＡ方式2月4日実施MathJax

【１】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx，g(x)=-x^2+2$とする．（$a，b$は実数とする．）平面上に曲線$C_1:y=f(x)$があり，$x=-1$において，放物線$C_2:y=g(x)$と接する．

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}，b=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　区間$-1\leqq x\leqq 1$において，関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{ウ}}$で，最大値$\boxed{\text{エ}}$をとり，$x=\boxed{\text{オ}}$で，最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

(3)　方程式$f(x)-g(x)=0$の解は，$x=\boxed{\text{キ}}$と，$x=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$z=\cos 72°+i\sin 72°$とする．ただし，$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は整数値である．

(1)　$z^5=\boxed{\text{ケ}}，z+z^2+z^3+z^4=\boxed{\text{コ}}$

(2)　(1)を利用して，次の$\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}$の値を求めよ．

$\cos 72°+\cos 144°=\boxed{\text{サ}}$

$\cos 72°\cdot \cos 144°=\boxed{\text{シ}}$

(3)　(2)の結果から

$\cos 72°=\boxed{\text{ス}}，\cos 36°=\boxed{\text{セ}}$

が得られる．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上に相異なる$2$点$\mathrm{A}，\mathrm{B}$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=t$とおく．$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が最小値をとるとき，$▵\mathrm{OAB}$の面積の範囲を求めよ．