2005　立命館大　文系Ａ，４教科方式2月8日実施MathJax

【１】　所得のすべてを商品Aと商品Bの購入に支出し，$2$つの商品の購入から得られる満足度の水準$u$が

$u=x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{y}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\cdots \text{①}$

で表せるものとする．ただし，$x$を商品Aの購入量，$y$を商品Bの購入量とし，$x$と$y$はともに正の実数とする．

　ある個人の所得額は$10000$円であり，商品Aの価格は購入量$1$単位あたり$500$円，商品Bの価格は購入量$1$単位当たり$1000$円である．この個人の満足度を最大にする商品A，商品Bの購入量とそのときの満足度を求める．

(1)　$y$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<y<\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　式$\text{①}$の両辺の対数をとって，購入量$y$の関数として表すと，

${\log }_{10}u=\boxed{\text{ウ}}{\log }_{10}(\boxed{\text{エ}})$

となる．よって，この関数は$x=\boxed{\text{オ}}，y=\boxed{\text{カ}}$のとき最大となり，$u$の最大値は${\boxed{\text{キ}}}^{\boxed{\text{ク}}}$である．

【２】　$f(x)=6{\displaystyle {\int }_1^x}t(t-a)dt$とする．

(1)　$f(x)=\boxed{\text{ケ}}$である．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$の解は，$1$次方程式$\boxed{\text{コ}}=0$の解であるか，または，$2$次方程式$\boxed{\text{サ}}=0$の解である．

(3)　$1$次方程式$\boxed{\text{コ}}=0$の解が，$3$次方程式$f(x)=0$の重解であるとき，定数$a$の値は$a=\boxed{\text{シ}}$であり，$f(x)=0$の他の解は$x=\boxed{\text{ス}}$である．

(4)　$2$次方程式$\boxed{\text{サ}}=0$の$2$解が，$3$次方程式$f(x)=0$の重解であるとき，$a=\boxed{\text{セ}}$ならば，その重解は$x=\boxed{\text{ソ}}$であり，$a=\boxed{\text{タ}}$ならば，その重解は$x=\boxed{\text{チ}}$である．

【３】　複素数平面上で，点$z$は点$1$を中心とする半径$r$の円上を動く．ただし，$0<r<1$とする．$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$を満たす$w$の軌跡が円であることを示し，その中心と半径を$r$で表せ．