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【1】 平面で点にロープの片端を固定し,原点にある荷物にロープをたるみのないように取り付け,点にある定滑車にロープをかけたのち,点にある巻き取り用のモータにロープのもう一方の端を固定した.時刻にモータを始動し,単位時間当たり一定の長さの割合でロープを巻き取り始めた.重力は軸の負の方向に働いているとする.荷物はすべって移動しないようにロープに固定されており,それぞれの大きさや太さは無視できるものとし,ロープにたるみや伸び縮みはないものとする.モータはロープが張って巻き取れなくなったときに自動的に停止する.
(1) 荷物の停止点の座標はであり,停止した時刻はである.巻き取り中の時刻における荷物の座標はであり,そのときの荷物の軸方向の速度はである.
(2) 今度は一旦元の状態に戻し,点では,ロープを固定する代わりに単位時間あたり一定の長さの割合でロープを巻き取るモータに接続し,つのモータで時刻から同時に巻き取り始めた.巻き取り中の時刻における荷物の座標はであり,そのときの荷物の軸方向の速度はである.
【3】 複素数平面上の任意の点は,実数と虚数単位を用いて,の形に表される.
(1) 複素数平面において,等式を満たす点全体が描く図形を等式を満たす点全体が描く図形をとする.図形上の点については,とは虚数を含まない等式を満たし,上の点については,とは虚数を含まない等式を満たす.
(2) が上を動くとき,
が描く図形をとすると,上の点の実部は定数である.また,が上を動くときが描く図形をとすると,はに関する等式で表される.
(3) 図形との交点を求めると,そのうち虚部が正のものはである.一方,図形を原点のまわりにだけ回転させて得られる図形をそれぞれとすると,との交点のうち実部が負のものはである.(ただし,は複素数である.)