2005　立命館大　文系Ａ，４教科方式2月10日実施MathJax

	商品Ａ	商品B
材料	$2$	$1$
労働	$1$	$2$

【１】　ある企業が$2$つの商品（商品Ａと商品B）を生産している．それぞれの商品は材料と労働を投入して生産される．右の表は各商品$1$単位を生産するのに必要な材料と労働の単位数を表している．たとえば，商品Aを$1$単位生産するには，材料$2$単位と労働$1$単位が必要である．

　この企業では，材料が$1000$単位，労働が$800$単位，それぞれ利用可能である．

(1)　商品Aの生産量を$x\text{，}$商品Bの生産量を$y$とする．この企業の利用可能な材料は$1000$単位であるから，$x，y$は不等式

$\boxed{\text{ア}}\cdots \text{①}$

を満たす．

　また，利用可能な労働は$800$単位であるから，$x，y$は不等式

$\boxed{\text{イ}}\cdots \text{②}$

を満たす．

　すなわち，この企業が生産可能な$x，y$の組み合わせは，不等式$\text{①}$と$\text{②}$を同時に満たさねばならない．

(2)　商品Aの価格を$1000$円，商品Bの価格を$1200$円とすると，この企業が生産可能な両商品の生産量の組み合わせのうち，総生産額を最大にするのは

$x=\boxed{\text{ウ}}，y=\boxed{\text{エ}}$

である．

(3)　$2$つの商品の価格と利用可能な材料の量が変わらず，利用可能な労働の量が$1400$単位の場合には，総生産量を最大にするのは

$x=\boxed{\text{オ}}，y=\boxed{\text{カ}}$

である．

【２】　$z$と$w$は複素数である．

(1)　$z$は，$z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$を満たす．このとき，$z^8=\boxed{\text{キ}}，|z|=\boxed{\text{ク}}$である．

(2)　$|w+2-2i|=|w|$を満たすとき，$w=x+yi$（$x，y$は実数とする）とおくと，$w$は直線$y=\boxed{\text{ケ}}$上の点である．

(3)　これらの$z$と$w$に対して，$d=|z-w|$とおくと，$d$の最小値は$\boxed{\text{コ}}$であり，このとき$z=\boxed{\text{サ}}，w=\boxed{\text{シ}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1，a_2=2，a_{n+2}=a_{n+1}\cdot {a_n}^2(n=1，2，3，\cdots )$を満たす．

(1)　$a_3，a_4，a_5$の値を求めよ．

(2)　$b_n={\log }_2{a}_n$とおくとき，数列$\{b_{n+1}+b_n\}$の初項と公比を求めよ．また，その一般項$b_{n+1}+b_n$を求めよ．

(3)　数列$\{b_{n+1}-2b_n\}$の一般項$b_{n+1}-2b_n$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．