2005　立命館大　理系学部Ａ方式2月10日実施MathJax

【１】　連続関数$f(x)$は$-\infty <x<\infty$で定義され，$f(x)>0$とする．$f(x)$はある定数$a\text{，}b$に対して等式

${\displaystyle {\int }_0^x}{\{f(t)\}}^{2}dx={\displaystyle \frac{a}{2}}{\{{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\}}^2+b{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\cdots \text{①}$

を満たし，さらに条件

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdots \text{②}\text{，}f(1)={\displaystyle \frac{e^2}{2}}\cdots \text{③}$

を満たすという．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき$f(x)$と定数$a\text{，}b$を求めたい．

　等式$\text{①}$の両辺を$x$で微分して整理すれば，関係式

$f(x)=a\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\cdots \text{④}$

を得る．これと条件$\text{②}$により，$b=\boxed{\text{ウ}}$を得る．関係式$\text{④}$をさらに微分して計算することにより${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}=\boxed{\text{エ}}$が得られるから，条件$\text{②}$を用いると$f(x)=\boxed{\text{オ}}$となる．また，条件$\text{③}$より$a=\boxed{\text{カ}}$となり，$f(x)$が求まる．

【２】(1)　$t$を正の定数とし，$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)=e^{tx}-x\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$である．したがって，すべての実数$x$に対して不等式$x\leqq e^{tx}$が成立するための$t$の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

(2)　$t$が範囲$\boxed{\text{ク}}$にあるとき，$x{e}^{-x}\leqq e^{(t-1)x}$である．これを利用して数列$\{n{e}^{-n}\}$の極限値を求め，経過も含めて$\boxed{\text{ケ}}$に記入せよ．

(3)　自然数$n$に対し$I_n={\displaystyle {\int }_0^n}x{e}^{-x}dx$とおけば，$I_n=\boxed{\text{コ}}$であるから$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\boxed{\text{サ}}$となる．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{e}^{-k}$とおく．$(e-1)S_n$を計算すると$(e-1)S_n=\boxed{\text{シ}}$となるので，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}n{e}^{-n}$の和は$\boxed{\text{ス}}$である．

【３】　複素数平面上で，点$\mathrm{A}$が複素数$\alpha$を表していることを$\mathrm{A}(\alpha )$と書く．また，虚数単位を$i$で表す．

(1)　複素数平面上の原点$\mathrm{O}(0)$と，$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}(\alpha )$とを結ぶ線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線を$l_{\alpha }$とする．$l_{\alpha }$上の任意の点を$\mathrm{Z}(z)$とすれば，$|z|=\boxed{\text{セ}}$が成り立つ．これより，$z\text{，}\bar{z}\text{，}\alpha \text{，}\bar{\alpha }$を用いて$l_{\alpha }$の方程式を表せば，${|\alpha |}^2=\boxed{\text{ソ}}$を得る．ただし，記号$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．さらに，線分$\mathrm{OA}$およびその延長線上にない点$\mathrm{B}(\beta )$をとり，線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線$l_{\beta }$も考える．$2$直線$l_{\alpha }\text{，}{l}_{\beta }$の交点を$\mathrm{C}(\gamma )$とすると，複素数$\gamma$は$\alpha \text{，}\bar{\alpha }\text{，}\beta \text{，}\bar{\beta }$を用いて$\gamma =\boxed{\text{タ}}$と表される．

(2)　$z_1=i{z}_0$のとき，$z_1$は$z_0$を原点$\mathrm{O}$のまわりに$90°$だけ回転したものである．このことを考慮すると，$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )$について，$\arg \left({\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\right)=90°$となるための必要十分条件は$\alpha \bar{\beta }=\boxed{\text{チ}}$である．したがって，このとき$\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta =\boxed{\text{ツ}}$となる．

　いま，原点$\mathrm{O}$を通る半径$1$の円がある．$\alpha =1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-i{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$に対応する点$\mathrm{A}(\alpha )$がこの円周上にあるとき，同じ円周上に点$\mathrm{B}\left(\beta \right)$を$\arg \left({\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\right)=90°$となるようにとってみよう．このとき$|\beta -\alpha |=\boxed{\text{テ}}$であるから${|\beta |}^2=\boxed{\text{ト}}$と計算される．（$\boxed{\text{テ}}\text{，}\boxed{\text{ト}}$には数値を入れよ．）したがって，$\alpha \bar{\beta }=\boxed{\text{チ}}$に注意して計算すると$\beta =\boxed{\text{ナ}}$となる．

【４】　座標平面上にベクトル$\overrightarrow{a}=(1,0)\text{，}\overrightarrow{b}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}\overrightarrow{c}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$がある．また，$3$個の玉$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が入った袋が用意されている．この袋から玉を$1$個取り出すごとに，平面上の動点$\mathrm{P}$を次のルールにしたがって動かす．

• 取り出した玉が$\mathrm{A}$なら$\overrightarrow{a}$の向きへ距離$1$だけ動かす．
• 取り出した玉が$\mathrm{B}$なら$\overrightarrow{b}$の向きへ距離$1$だけ動かす．
• 取り出した玉が$\mathrm{C}$なら$\overrightarrow{c}$の向きへ距離$1$だけ動かす．

取り出した玉は袋の中に戻すものとする．

　最初に点$\mathrm{P}$は原点にあるとして，以下の$\boxed{}$に適切なものを入れよ．

(1)　玉を取り出す操作を何回か繰り返した結果，玉$\mathrm{A}$が$p$回，玉$\mathrm{B}$が$q$回，玉$\mathrm{C}$が$r$回取り出されたとすると，そのとき点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ニ}}$である．ただし，$p\text{，}q\text{，}r$は$0$または自然数とする．

(2)　玉を$3$回取り出したとき点$\mathrm{P}$が原点にある確率は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

(3)　玉を$4$回取り出したとき点$\mathrm{P}$が$x$軸上にある確率は$\boxed{\text{ネ}}$である．

(4)　玉を$6$回取り出したときに初めて点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率は$\boxed{\text{ノ}}$である．

(5)　$n$を自然数とするとき，玉を$3n-1$回取り出したとき点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=1$の上にあるとする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標として可能性がある座標をすべて挙げれば，$\boxed{\text{ハ}}$である．

(6)　玉を$5$回取り出したとき点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=1$の上にある確率は$\boxed{\text{ヒ}}$である．