2005　関西大　社会学部学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$0°\leqq x<360°$の範囲で，方程式

$2+3\sin x=\cos 2x$

を解け．

【２】　$2$つの放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{，}y=2x^2-12x+18$があり，直線$l$の方程式を$y=ax+b\text{（}a\ne 0\text{）}$とする．$l$は$2$つの放物線の両方に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$y\leqq 2x^2-12x+18$の領域にあり，直線$l$と$2$つの放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　表が出る確率が$p\text{，}$裏が出る確率が$1-p\text{（}0<p<1\text{）}$である硬貨が$1$枚ある．この硬貨を何回か投げて，次のようなゲームを行う．先に$2$回続けて表が出た場合は$\mathrm{A}$の勝ち，先に$2$回続けて裏が出た場合は$\mathrm{B}$の勝ちとしてどちらの場合にもゲームを終了する．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　硬貨を$2$回投げた時点で勝負がつく確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　硬貨をちょうど$5$回投げた時点で$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　硬貨をちょうど$2n\text{回（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$投げた時点で$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$p={\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとき，(3)で求めた確率$\boxed{\text{③}}$が${\displaystyle \frac{1}{1000}}$以下になるような$n$の最小値は$\boxed{\text{④}}$である．ただし，必要ならば${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$としてよい．