2005 関西大 総合情報学部S方式2月6日実施MathJax

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2005 関西大学 総合情報学部S方式2月6日実施

易□ 並□ 難□

【1】 円柱の体積を V 表面積を S 高さを h 底面の円の半径を r とする.

(1)  V h r で表せ. S h r で表せ.

(2) 表面積 S が一定値 a である円柱のうちで,体積が最大のものを作るには,その底面の円の半径 r および高さ h をどのようにとればよいか.

2005 関西大学 総合情報学部S方式2月6日実施

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【2】  α は複素数で,実部は正,絶対値は 13 |α | =13 とする.複素数平面上において, α (の表す点)を中心とした半径 5 の円を C とする.原点 O から C に引いた 2 本の接線の接点を β γ argβ <arg α<arg γ とする.ただし,複素数 z に対して,その偏角 arg z は常に - 180°< argz 180 ° ととることにする.

(1)  α β α γ を求めよ.

(2)  argα =45° のとき, β を求めよ.

(3)  argα =-30 ° のとき, γ を求めよ.

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【3】  a b は正の定数とする.放物線 C :y= ax 2 上に定点 B ( b,a b 2 ) と動点 P ( p,a p 2 ) をとる.さらに, y 軸上に定点 B ( 0,a b2 ) と動点 P ( 0,a p2 ) をとる. p の動く範囲は 0 p b とする.次の   をうめよ.

(1) 四角形 PB B P の面積 S a b p で表せば S = である. S が最大となるのは p = のときである.

(2)  pb のとき, P を頂点として,点 B を通る放物線 y =a x 2+a p2 C とする. a a b p で表せば, a = である.

  C と線分 BB B P の囲む図形の面積を S とする. S a b p で表せば, S = である.

(3) 点 B における C の接線の傾きが,直線 PB の傾きより小さくなるような p の範囲は, <p <b である.

  C と線分 PB が( B と異なる)交点 >Q をもつような p の範囲は である.このとき, C 線分 PB P P の囲む図形は点 >Q を境にして, >Q の左下にある部分と, >Q の右上にある部分の 2 つに分かれるが,

>Q の左下にある部分の面積 =>Q の右上にある部分の面積

となるのは, p= のときである.

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【4】  0<a 1< a2< a3 <1 0< x1< x2 <x3 <1 とする. 1 2 3 から作る 6 個の順列

ijk= 123 231 312 132 321 213

について,

f( ijk) =a1 xi a 2x j a3 xk

とおく.

 たとえば,

f(123 )=a 1x1 a2x 2 a3 x3 f(312 )=a 1x3 a2x 1 a3 x2

である.

  6 個の正数 f (ijk ) の大小関係を考える.

 次の   を,不等号 > < または 6 個の順列 123 231 213 のいずれかでうめよ.

(1)  a2 x3 -x2 < a3 x3 -x 2 であるから, a2 x2 a3 x3 a2 x3 a3 x2 したがって,次の最小関係が確定(すなわち, a1 a2 a3 x1 x2 x3 を,与えられた条件の下で,どのようにとっても成立)する.

f(123 ) f (132)

(2) (1)と同様の考え方で,多くの大小関係が確定する.たとえば,

である.特に, f( ) は最大で, f ( ) は最小である.

(3) 一方, f( 132) f ( ) の大小関係は確定しない.また, f( 231) f ( ) の大小関係も確定しない.

(4)  (a1 ,a 2, a3) = (1 4, 13, 12 ) ( x1 ,x2 ,x3 )= ( 27 ,47 ,6 7 ) のとき, f( ijk ) を大きい順に並べれば

f( ) >f ( ) >f ( ) >f ( ) >f ( ) > f ( )

である.

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