2005 関西大 工学部S方式2月6日実施

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2005 関西大学 工学部S方式2月6日実施

易□ 並□ 難□

【1】 正の定数 a に対して, f (x) =a x2 +(1 -2 a) x-2 とおく.次の問いに答えよ.

(1)  1 以外の x に対して, f( x)-f (1 )x -1 =f (c ) を満たす c がただ 1 つ存在する.この c x を用いて表せ.

(2)  1 以外の x に対して,(1)で定まる c を対応させる関数を g (x ) とする. g( x) x =1 において連続になるように g (1 ) の値を定めよ.

(3) 上で定義された f (x ) g (x ) の合成関数 h (x )=f (g (x )) を考える. h( x)=0 の相異なる実数解を α β α<β とし, S (a )= α β |h (x) | dx とおく.

  S(a ) a を用いて表せ.また, a>0 のとき, S( a) の値が最も小さくなるような a の値を求めよ.

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【2】  a1 =1 a n= an- 1 (2 n-1) a n-1 +1 n=2 3 で定義される数列 { an } がある.

(1)  an n を用いて表せ.

(2)  bn= 1 a1 an + 1a2 a n-1 + +1 ak an -k+1 + + 1an a 1 n を用いて表せ.

(3) 無限級数 n =1 1 bn の和の値を求めよ.

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【3】 直線上に赤,白,黒の 3 球が置かれている.さいころを振って

それぞれ 1 だけ移動させる試行を繰り返す.

 最初に 3 球はともに原点にあるとする.そして, n 回の試行の後にまた 3 球がともに原点にあるという事象を E n で表す.

 次の   をうめよ.

(1)  E2 が起こる確率は である.

(2)  E2 が起こり,かつ E 4 が起こる確率は である.

(3)  4 回の試行のうち,赤球,白球が 1 回ずつ右に移動し, E4 が起こる確率は である.

(4)  4 回の試行のうち,赤球が 2 回右に移動し, E4 が起こる確率は である.

(5)  E4 が起こる確率は である.

(6)  4 回の試行の後,はじめて 3 球がともに原点にそろう確率は である.

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【4】 次の   をうめよ.ただし, i は虚数単位である.

(1)  (1-i )a 2+a -b( 1+i) =0 を満たす実数の組 (a ,b) (0 ,0) ( , ) である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  3 A (1, 1,4 ) B( 2,1, 5) C (3 ,-1 ,8) がある.このとき,

BAC= ° ABC の面積=

である.

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【4】 次の   をうめよ.ただし, i は虚数単位である.

(3) 複素数 z z 2= 7+15 i z を満たすならば, z の実部は 虚部は である.ただし, z z と共役な複素数である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  limx 2 a x+7 +b x-2 = 1 が成立するならば, a= b = である.

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【4】 次の   をうめよ.

(5)  f(x )= 0 x 1 1+2 t2 dt とするとき,合成関数 f ( tanx 2 ) の導関数は x によらない定数となる.この定数の値は である.