2005　関西大　後期B日程文系3月2日実施MathJax

【１】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$がある．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}(t,0)$をとり，線分$\mathrm{BP}$上に$y$座標が$t$である点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　直線$\mathrm{BP}$の方程式は$x+\boxed{\text{①}}=0$であり，点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せば$\mathrm{Q}(\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})$である．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を変るとき，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線$C$の方程式は$x+\boxed{\text{④}}=0$であり，$C$を図示すれば$\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　曲線$C$と$y$軸とで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{⑥}}$である．　

【２】　半径$1$の円の周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がこの順に並んでいて，線分$\mathrm{AB}$は直径，$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta \text{（}0°<\theta <90°\text{）}$である．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　線分$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の長さを$\theta$を用いて表すと，

$\mathrm{BC}=\boxed{\text{①}}=\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}=\boxed{\text{②}}$

であるから，$\sin \theta =x$とおいて，四角形$\mathrm{ABCD}$の周の長さ$l$を$x$を用いて表すと，$l=\boxed{\text{③}}$となり，$l$の最大値は$\boxed{\text{④}}\text{，}$そのとき$\theta =\boxed{\text{⑤}}°$である．

(2)　$2$つの対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{BM}:\mathrm{MD}=2:\sqrt{3}$となるような$\theta$の大きさは$\boxed{\text{⑥}}°$である．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．$n$個の白石と$(n-1)$個の黒石，全部で$(2n-1)$個の石が入った袋がある．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

　袋から$2$個の石を取り出したとき，$2$個とも白石である確率を$p\text{，}$黒石が少なくとも$1$個取り出される確率を$q$とし，$p\text{，}q$を$n$を用いて表せば，

$p=\boxed{\text{①}}\text{，}q=\boxed{\text{②}}$

である．また，${\displaystyle \frac{4}{15}\leqq p\leqq \frac{7}{26}}$であるような$n$の値は$n=\boxed{\text{③}}$である．