2005　関西学院大　理工学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$n$は$6$以上の整数とする．正$n$角形の$n$個の頂点${\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$のうち$3$つを結んでできる三角形を考える．その中で正$n$角形と$1$辺を共有するものは$\boxed{\text{（ア）}}$個，$2$辺を共有するものは$\boxed{\text{（イ）}}$個，$1$辺も共有しないものは$\boxed{\text{（ウ）}}$個ある．$n$が偶数のとき直角三角形は$\boxed{\text{（エ）}}$個ある．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　無限級数${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\cdots }$の和$S$を求める．任意の自然数$n$に対して，

${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}+\frac{c}{n+2}}$

が成り立つ定数$a\text{，}b\text{，}c$は$a=\boxed{\text{（オ）}}\text{，}b=\boxed{\text{（カ）}}\text{，}c=\boxed{\text{（キ）}}$である．初項から第$n$項までの部分和$S_n$は$S_n=\boxed{\text{（ク）}}$である．したがって，$S=\boxed{\text{（ケ）}}$となる．

【２】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$（ただし$a<b$）における接線をそれぞれ$l\text{，}m$とし，それらの交点を$\mathrm{P}$とする．$\theta =\angle \mathrm{APB}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\cos \theta$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$b$が${\displaystyle b>\frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$は実数で，$p\text{，}q$は自然数とする．任意の実数$x$について

$x^2-ax+a=(x-p)(x-q)$

が成り立つとき，$a\text{，}p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　$b\text{，}c$は実数で，$k\text{，}l\text{，}m$は自然数であり，$1\leqq k\leqq l\leqq m$とする．任意の実数$x$について

$x^3-b{x}^2+cx-b=(x-k)(x-l)(x-m)$

が成り立つとき，$b\leqq 3m$を示し，$b\text{，}c\text{，}k\text{，}l\text{，}m$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$は実数とし，関数$f(x)=e^x-ax$について考える．

(1)　$f(x)$が$0<x<1$で極値をもつような$a$の条件を求めよ．

(2)　方程式$f(x)-b=0$が$0<x<1$において異なる$2$つの解をもつような$a\text{，}b$の条件を求め，点$(a,b)$がとりうる範囲を図示せよ．

(3)　前問で求めた点$(a,b)$がとりうる範囲とその境界を合わせてできる図形を$D$とするとき，$D$の面積を求めよ．