2005　関西学院大　経済学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-{(x-a)}^2+b$が点$(2,4)$を共有し，その点における接線が一致するとき，$a=\boxed{\text{（ア）}}\text{，}b=\boxed{\text{（イ）}}$である．またこのとき，$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$i^2=-1$とする．このとき，

• $1-\sqrt{3}i=\boxed{\text{（エ）}}(\cos \boxed{\text{（オ）}}+i\sin \boxed{\text{（オ）}})$
• ${\displaystyle \frac{1+i}{1-\sqrt{3}i}}=\mathrm{（カ）}(\cos \boxed{\text{（キ）}}+i\sin \boxed{\text{（キ）}})$

である．ただし，$\boxed{\text{（エ）}}\text{，}\boxed{\text{（カ）}}$は正の実数，$\boxed{\text{（オ）}}\text{，}\boxed{\text{（キ）}}$は$0°$と$360°$の間の角度である．さらに，

${\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-\sqrt{3}i}}\right)}^8=\boxed{\text{（ク）}}+\boxed{\text{（ケ）}}i$

である．ここで，$\boxed{\text{（ク）}}\text{，}\boxed{\text{（ケ）}}$は実数である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,-1,1)$がある．$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{（コ）}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{（サ）}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$xy$平面において放物線$C:y=x^2-2x\sin \theta -{\displaystyle \frac{3}{2}}\cos 2\theta +6\sin \theta +{\displaystyle \frac{7}{2}}\text{（}0°<\theta <360°\text{）}$と直線$l:y=4x-2$を考える．$t=\sin \theta$とおく．

(1)　$C$の頂点の$y$座標を$p$とする．$p$を$t$の式で表すと$p=\boxed{\text{（ア）}}$となり，また，$p={\displaystyle \frac{11}{2}}$となるような$\theta$を小さいものから順に並べると$\theta =\boxed{\text{（イ）}}$または$\theta =\boxed{\text{（ウ）}}$となる．また，$p$が最大となるのは$\theta =\boxed{\text{（エ）}}$のときである．

(2)　$C$と$l$が接するような$\theta$を小さいものから順に並べると，$\theta =\boxed{\text{（オ）}}$または$\theta =\boxed{\text{（カ）}}$となる．

(3)　$C$と$l$が$2$点で交わるとき，$2$交点間の距離を$d$とする．$d$は$\theta =\boxed{\text{（キ）}}\text{，}\boxed{\text{（ク）}}$のとき最大値$\boxed{\text{（ケ）}}$をとる．

【３】　$A\text{，}B$を自然数とする．$A$を$7$で割ったときの余りを$a\text{，}B$を$7$で割ったときの余りを$b$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$AB$を$7$で割ったときの余りと$ab$を$7$で割ったときの余りは等しいことを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，$A^n$を$7$で割ったときの余りは$a^n$を$7$で割ったときの余りと等しいことを，$n$に関する数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　$2^{100}$を$7$で割ったときの余りを求めよ．