2005　関西学院大　文学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$から$n$までの数が$1$つずつ書かれた$n$個の箱に$2$個の玉を入れる．ただし，$n$は自然数であり，$1$つの箱に$2$個の玉を入れることを許す．

　$1$個の赤玉と$1$個の白玉をこれらの箱に入れる入れ方は，$n=2$のとき$\boxed{\text{（ア）}}$通り，$n=3$のとき$\boxed{\text{（イ）}}$通り，任意の自然数$n$については$\boxed{\text{（ウ）}}$通りある．

　また，区別できない$2$個の白玉をこれらの箱に入れる入れ方は，$n=2$のとき$\boxed{\text{（エ）}}$通り，$n=3$のとき$\boxed{\text{（オ）}}$通り，任意の自然数$n$については$\boxed{\text{（カ）}}$通りある．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$0°<\angle \mathrm{B}<90°$であるような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}$面積を$2\sqrt{14}$とする．このとき，$\sin B=\boxed{\text{（キ）}}\text{，}\mathrm{AC}=\boxed{\text{（ク）}}$である．また，内接円の半径は$\boxed{\text{（ケ）}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標空間に$4$点$\mathrm{A}(-1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,-1,-4)\text{，}\mathrm{D}(2,3,2)$がある．点$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を通る直線を$l$とする．

(1)　直線$l$上の点は，$(2t,\boxed{\text{（ア）}},\boxed{\text{（イ）}})$（$t$は実数）で表される．直線$l$上の点$\mathrm{Q}\boxed{\text{（ウ）}}$をとると三角形$\mathrm{AQB}$は正三角形になる．また，正三角形$\mathrm{AQB}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$\boxed{\text{（エ）}}$である．$\boxed{\text{（ウ）}}\text{，}\boxed{\text{（エ）}}$は$(a,b,c)$（$a\text{，}b\text{，}c$は数値）の形で答えよ．

(2)　大きさ$1$のベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{QA}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QB}}$に垂直で，$z$成分が正ならば，その$z$成分は$\boxed{\text{（オ）}}$である．

(3)　点$\mathrm{R}$を，四面体$\mathrm{RAQB}$の体積が${\displaystyle \frac{8}{3}}$であり，線分$\mathrm{RG}$が正三角形$\mathrm{AQB}$を含む平面に垂直になるようにとる．このとき，線分$\mathrm{RG}$の長さは$\boxed{\text{（カ）}}$であり，点$\mathrm{R}$の座標は，$\boxed{\text{（キ）}}$または$\boxed{\text{（ク）}}$である．$\boxed{\text{（キ）}}\text{，}\boxed{\text{（ク）}}$は$(a,b,c)\text{（}a,b,c\text{は数値）}$の形で答えよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+1$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極値をもたないための$p\text{，}q$が満たすべき条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(p,q)$の存在する範囲を$pq$平面上に図示せよ．

(2)　$(p,q)$が(1)で求めた範囲内を動くとき，$f(1)$の最小値と，そのときの$p\text{，}q$の値を求めよ．