2006　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-3x-1=0$の解が$\alpha \text{，}$$\beta$で，$\alpha >\beta$とするとき，

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{2}}$

である．また，

• $m<\alpha <m+1$を満たす整数$m$の値は$m=\boxed{\text{エ}}$
• $n<\beta <n+1$を満たす整数$n$の値は$n=\boxed{\text{オカ}}$

である．

　次に，${\alpha }^2-1=\boxed{\text{キ}}\alpha$であるから

$\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2-1}{\alpha }}=\boxed{\text{キ}}$

となり，

$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}$

である．さらに，

${\alpha }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}=\boxed{\text{コサ}}\text{，}{\alpha }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}=\boxed{\text{シス}}\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}$

である．

【２】　$2$次関数

$y=6x^2+11x-10\cdots \text{①}$

について考える．

　$\text{①}$において，$y\leqq 0$となる$x$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．

　$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られるグラフを$G$とする．$G$が原点$(0,0)$を通るとき，

$b=\boxed{\text{カキ}}{a}^2+\boxed{\text{クケ}}a+\boxed{\text{コサ}}$

であり，このとき$G$を表す$2$次関数は

$y=\boxed{\text{シ}}{x}^2-(\boxed{\text{スセ}}a-\boxed{\text{ソタ}})x\cdots \text{②}$

である．

　$x=\mathrm{-2}$と$x=3$に対応する$2$次関数$\text{②}$の値が等しくなるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

のときである．このとき，$2$次関数$\text{②}$の$\mathrm{-2}\leqq x\leqq 3$における

最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$，最大値は$\boxed{\text{ネノ}}$

である．

【３】

［１］　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$1$であり，

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}>90°$

とする．このとき，

$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

となる．ここで$\mathrm{BC}=x$とすると，$x$は$2$次方程式

$4x^2+\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}x-\boxed{\text{ク}}=0$

を満たす．$x>0$であるから，$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$となる．

【３】

［２］　右の図のような直方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$において，$\mathrm{AE}=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{AF}=8\text{，}$$\mathrm{AH}=10$とする．

　このとき，$\mathrm{FH}=\boxed{\text{シス}}$であり，$\cos \angle \mathrm{FAH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．また，三角形$\mathrm{AFH}$の面積は$\boxed{\text{タチ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．したがって，点$\mathrm{E}$から三角形$\mathrm{AFH}$に下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【４】

［１］　$m$は定数とする．$2$次不等式$x^2+mx+3m-5>0$がすべての実数$x$に対して成り立つための条件は，$m$が

$m^2-\boxed{\text{アイ}}m+\boxed{\text{ウエ}}<0$

を満たすことである．これが成り立つような$m$の値の範囲は

$\boxed{\text{オ}}<m<\boxed{\text{カキ}}$

である．

【４】

［２］　連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x+1|<{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ x^2-2x-3>0\end{array}$

を満たす$x$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}<x<\boxed{\text{サシ}}$

である．

【４】

［３］　$p\text{，}$$q$は自然数とする．

${\displaystyle \frac{p+1}{q+3}}=0.4\cdots \text{①}$

を満たす$p\text{，}$$q$を考える．

(1)　$p$と$q$がともに$10$以下であるとき，$\text{①}$を満たす$p\text{，}$$q$を求めると

$p=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$q=\boxed{\text{セ}}$および$p=\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{タ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{ソ}}$とする．

(2)　$p\text{，}$$q$が$\text{①}$を満たすとき，

$p^{\prime }=p+2\text{，}$$q^{\prime }=q+\boxed{\text{チ}}$

についても

${\displaystyle \frac{p^{\prime }+1}{q^{\prime }+3}}=0.4$

となる．

(3)　$\text{①}$を満たす$p\text{，}$$q$に対し，$p+q<30$の範囲における$p+q$の最大の値は$\boxed{\text{ツテ}}$である．

【５】　袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，それぞれに$4$枚のカードが入っている．各袋のカードには，$1$から$4$までの番号がつけられている．袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$からカードを$1$枚ずつ取り出し，出た数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の最大の数が$3$以下である場合は$\boxed{\text{アイ}}$通りあり，最大の数が$4$である場合は$\boxed{\text{ウエオ}}$通りある．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}c\text{，}$$d$について，$a<b<c$となる場合は$\boxed{\text{カキ}}$通りある．

(3)　出た数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$によって，次のように得点を定める．

• $a\leqq b\leqq c\leqq d$のときは，$(d-a+1)$点
• それ以外のときは，$0$点

(ⅰ)　得点が$1$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$であり，得点が$4$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シスセ}}}}$である．

(ⅱ)　得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}}$点である．

【１】

［１］　$2$次方程式$x^2-3x-1=0$の解が$\alpha \text{，}$$\beta$で，$\alpha >\beta$とするとき，

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イウ<mspace width=".5em"></mspace>}}}}{2}}$

である．また，

• $m<\alpha <m+1$を満たす整数$m$の値は$m=\boxed{\text{エ}}$
  
  
• $n<\beta <n+1$を満たす整数$n$の値は$n=\boxed{\text{オカ}}$

である．

　次に，

$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\sqrt{\boxed{\text{キク}}}$

であり，

${\alpha }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}=\boxed{\text{ケコ}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}$

である．

【１】

［２］　$a$は実数とし，$b$は$0$でない実数とする．$a$と$b$に関する条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を次のように定める．

• $p\text{：}a\text{，}$$b$はともに有理数である
• $q\text{：}a+b\text{，}$$ab$はともに有理数である
• $r\text{：}{\displaystyle \frac{a}{b}}$は有理数である

(1)　次の$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

条件$p$の否定$\bar{p}$は$\boxed{\text{ス}}$である．

$\overline{)\text{0}}\text{「}a\text{，}$$b$はともに有理数である」

$\overline{)\text{1}}\text{「}a\text{，}$$b$はともに無理数である」

$\overline{)\text{2}}\text{「}a\text{，}$$b$の少なくとも一方は有理数である」

$\overline{)\text{3}}\text{「}a\text{，}$$b$の少なくとも一方は無理数である」

(2)　次の$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

「$q$かつ$r$」は条件$p$が成り立つための$\boxed{\text{セ}}$．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが十分条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが必要条件ではない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

(3)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうち，正しいものは$\boxed{\text{ソ}}$である．

$\overline{)\text{0}}\text{「}p⟹q\text{」}$は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は真である．

$\overline{)\text{1}}\text{「}p⟹q\text{」}$は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は偽である．

$\overline{)\text{2}}\text{「}p⟹q\text{」}$は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は真である．

$\overline{)\text{3}}\text{「}p⟹q\text{」}$は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は偽である．

$\overline{)\text{4}}\text{「}p⟹q\text{」}$は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は真である．

$\overline{)\text{5}}\text{「}p⟹q\text{」}$は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は真，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は偽である．

$\overline{)\text{6}}\text{「}p⟹q\text{」}$は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は真である．

$\overline{)\text{7}}\text{「}p⟹q\text{」}$は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の逆は偽，$\text{「}p⟹q\text{」}$の対偶は偽である．

【３】　右の図のような直方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$において，$\mathrm{AE}=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{AF}=8\text{，}$$\mathrm{AH}=10$とする．

　このとき，

$\mathrm{FH}=\boxed{\text{アイ}}$

であり，$\cos \angle \mathrm{FAH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．また，三角形$\mathrm{AFH}$の面積は$\boxed{\text{オカ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

　次に，$\angle \mathrm{AFH}$の二等分線と辺$\mathrm{AH}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\angle \mathrm{FAH}$の二等分線と辺$\mathrm{FH}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{FP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき$\mathrm{R}$は三角形$\mathrm{AFH}$の$\boxed{\text{ク}}$である．次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　重　心　　　$\overline{)\text{1}}$　外　心　　　$\overline{)\text{2}}$　内　心

　また，$\mathrm{AP}=\boxed{\text{ケ}}$であり，したがって，

$\mathrm{PF}:\mathrm{PR}=\boxed{\text{コ}}:1$

となる．さらに，四面体$\mathrm{EAPR}$の体積は$\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．