2006　北海道大学　後期MathJax

【１】　$a$を実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=a(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x$

によって定義する．ただし，$x$は実数全体を動くとする．

(1)　$t=\sin x+\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値が$3$となるときの$a$の値を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}b\text{，}n$は$0<b<1<a$かつ$n\geqq 2$をみたすとし

$f(a)={\displaystyle {\int }_1^a}{x}^{-n}dx\text{，}g(b)={\displaystyle {\int }_b^1}{x}^{-n}dx$

とおく．

(1)　 $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a)}{g(b)}}<1$となる$n$の範囲を求めよ．

(2)　 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f\left(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{g\left(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}}$を求めよ．

【３】　$0\leqq x\leqq 2\pi$とする．このとき，関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t\cos tdt$

の最大値をとる$x$とその最大値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【４】　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．ただし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$であり，$a\geqq 1$とする．頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

(2)　$a$を用いて線分$\mathrm{OH}$の長さを表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$が球$S$に内接しているとする．この球$S$の半径$r$を$a$を用いて表せ．