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2006-10081-0201
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2006 東北大学 後期
文系・理系共通
易□ 並□ 難□
【1】 多項式 F ⁡(x ) を零でない多項式 G ⁡(x ) で割った余りを R ⁡( x) とする.以下の問に答えよ.
(1) 方程式 F ⁡( x)= 0 と G ⁡( x)= 0 の共通解は方程式 R ⁡(x )=0 の解であることを示せ.
(2) a は実数の定数として
とする. G⁡( x) を R ⁡( x) で割った余り S⁡( x) を求めよ.さらに,方程式 F⁡( x)=0 と G⁡( x)=0 の共通の実数解を求めよ.
2006-10081-0202
文系
【2】 6n が 39 桁けた の自然数になるときの自然数 n を求めよ.その場合の n に対する 6 n の最高位の数字を求めよ.ただし
log10 ⁡2= 0.3010 ,log 10⁡ 3=0.4771
とする.
2006-10081-0203
【3】 (a,b ) は xy 平面上の点とする.点 (a ,b) から曲線 y =x3 −x に接線がちょうど 2 本だけひけ,この 2 本の接線が直交するものとする.このときの (a ,b) を求めよ.
2006-10081-0204
理系は【3】
【4】 1 個のサイコロを振り,出た目が 1 から 5 ならば出た目の数を総得点に加算し,出た目が 6 ならば総得点を 0 にするというゲームを考える.ゲーム開始時の総得点は 0 とする.たとえば, 3 回サイコロを振ったときに出た目が順に 1 ,2 , 3 ならば総得点は 6 , 出た目が順に 4 , 6 ,5 ならば総得点は 5 である.以下の問に答えよ.
(1) ゲーム開始後サイコロを 2 回振った後の総得点の期待値を求めよ.
(2) ゲームを開始してサイコロを 3 回振った後の総得点が 7 以上となる確率を求めよ.
(3) 現在の総得点が S のとき,次に 1 回サイコロを振った後の総得点の期待値が S 以下となるための S についての条件を求めよ.
2006-10081-0205
理系
【2】 数列 {a n} に対して初項 a 1 から第 n 項 a n までの和を S n とする. p は定数とし, n=1 , 2 , 3 , ⋯ に対し
Sn= n3 ⁢( 2⁢p +an )
が満たされているものとし, bn= an+ 2− an+ 1 とおく. a3 =q として以下の問に答えよ.
(1) b1 , b2 , b3 を p , q を用いて表せ.
(2) 一般項 b n を p , q ,n を用いて表せ.
(3) 一般項 a n を p , q ,n を用いて表せ.
2006-10081-0206
【4】 a は正の定数とし, −1<x <1 において定義される関数
f⁡( x)=a ⁢x− (1+x )⁢log ⁡(1 +x)− (1−x )⁢log ⁡(1 −x)
に関して以下の問に答えよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1) −1<x< 1 において第 2 次導関数 f ″ ⁡(x ) は f″ ⁡(0 )<0 であることを示せ.
(2) −1<x< 1 において f ⁡( x) の最大値を与える x の値 x 0 を a を用いて表せ.
(3) a=1 の場合, 0<x 1<1 であって f ⁡( x1) =0 となる x 1 が存在することを示せ.なお,必要ならば limt →+0 t⁢ log⁡t =0 は既知としてよい.
(4) a=1 の場合の, −1<x <1 におけるグラフ y =f⁡( x) の概形をかけ.
2006-10081-0207
理学部・工学部
【5】 xyz 空間において半径が 1 で x 軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱 C 1 と,半径が 1 で y 軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱 C 2 がある. C1 と C 2 の共通部分のうち y ≦ 12 である部分を K とおく.以下の問に答えよ.
(1) u を −1 ≦u ≦1 を満たす実数とするとき,平面 z =u による K の切断面の面積を求めよ.
(2) K の体積を求めよ.
2006-10081-0208
【6】 E=( 10 0 1 ), O=( 00 0 0 ) とし,実数を成分とする 2 次正方行列 A=( a b cd ) について以下の問に答えよ.
(1) x=a+ d として, A2= x⁢A +y⁢ E を満たす実数 y を求めよ.
(2) A が A 3= E かつ A ≠E を満たすことは, A が A 2+ A+E= O を満たすことと同値であることを示せ.
(3) A6= E かつ A 2≠ E ならば, A3= E または A 3= −E がなりたつことを示せ.
文系・理系の学部・学科別
文系 法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻
理系 理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)