2006　東北大学　後期MathJax

【１】　多項式$F(x)$を零でない多項式$G(x)$で割った余りを$R(x)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　方程式$F(x)=0$と$G(x)=0$の共通解は方程式$R(x)=0$の解であることを示せ．

(2)　$a$は実数の定数として

• $G(x)=x^4-a{x}^3-2x^2+2(a-2)x+4a$
• $R(x)=x^3+x^2-(a^2+3a+6)x+2a(a+3)$

とする．$G(x)$を$R(x)$で割った余り$S(x)$を求めよ．さらに，方程式$F(x)=0$と$G(x)=0$の共通の実数解を求めよ．

【２】　$6^n$が$39\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数になるときの自然数$n$を求めよ．その場合の$n$に対する$6^n$の最高位の数字を求めよ．ただし

${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$

とする．

【３】　 $(a,b)$は$xy$平面上の点とする．点$(a,b)$から曲線$y=x^3-x$に接線がちょうど$2$本だけひけ，この$2$本の接線が直交するものとする．このときの$(a,b)$を求めよ．

【４】　$1$個のサイコロを振り，出た目が$1$から$5$ならば出た目の数を総得点に加算し，出た目が$6$ならば総得点を$0$にするというゲームを考える．ゲーム開始時の総得点は$0$とする．たとえば，$3$回サイコロを振ったときに出た目が順に$1\text{，}2\text{，}3$ならば総得点は$6\text{，}$出た目が順に$4\text{，}6\text{，}5$ならば総得点は$5$である．以下の問に答えよ．

(1)　ゲーム開始後サイコロを$2$回振った後の総得点の期待値を求めよ．

(2)　ゲームを開始してサイコロを$3$回振った後の総得点が$7$以上となる確率を求めよ．

(3)　現在の総得点が$S$のとき，次に$1$回サイコロを振った後の総得点の期待値が $S$以下となるための$S$についての条件を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$に対して初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．$p$は定数とし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し

$S_n={\displaystyle \frac{n}{3}}(2p+a_n)$

が満たされているものとし，$b_n=a_{n+2}-a_{n+1}$とおく．$a_3=q$として以下の問に答えよ．

(1)　 $b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　一般項$b_n$を$p\text{，}q\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　一般項$a_n$を$p\text{，}q\text{，}n$を用いて表せ．

【４】　$a$は正の定数とし，$\mathrm{-1}<x<1$において定義される関数

$f(x)=ax-(1+x)\log (1+x)-(1-x)\log (1-x)$

に関して以下の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$\mathrm{-1}<x<1$において第$2$次導関数$f^{″}(x)$は$f^{″}(0)<0$であることを示せ．

(2)　$\mathrm{-1}<x<1$において$f(x)$の最大値を与える$x$の値$x_0$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a=1$ の場合，$0<x_1<1$であって$f(x_1)=0$となる$x_1$が存在することを示せ．なお，必要ならば$\underset{t\to \mathrm{+0}}{\lim }t\log t=0$は既知としてよい．

(4)　$a=1$の場合の，$\mathrm{-1}<x<1$におけるグラフ$y=f(x)$の概形をかけ．

【５】　 $xyz$空間において半径が$1$で$x$軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱$C_1$と，半径が$1$で$y$軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱$C_2$がある．$C_1$と$C_2$の共通部分のうち$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$である部分を$K$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$u$を$\mathrm{-1}\leqq u\leqq 1$を満たす実数とするとき，平面$z=u$による$K$の切断面の面積を求めよ．

(2)　$K$の体積を求めよ．

【６】　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とし，実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について以下の問に答えよ．

(1)　$x=a+d$として，$A^2=xA+yE$を満たす実数$y$を求めよ．

(2)　$A$が$A^3=E$かつ$A\ne E$を満たすことは，$A$が$A^2+A+E=O$を満たすことと同値であることを示せ．

(3)　$A^6=E$かつ$A^2\ne E$ならば，$A^3=E$または$A^3=-E$がなりたつことを示せ．

文系・理系の学部・学科別

文系　法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻

理系　理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）