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2006-10221-0201
2006 埼玉大学 前期
理学部(数学科)
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 X=( a bc d ) を成分が実数である 2 ×2 行列とし,
p=a+ d, q=a⁢ d−b ⁢c
とおく.また,行列 E , O を
E=( 1 0 01 ) ,O= ( 0 00 0 )
とする.
(1) X2 −p⁢ X+q ⁢E= O であることを証明せよ.
(2) X3 −X 2+X −E= α⁢X +βE を満たす実数 α , β を p と q を用いて表せ.
(3) X が X 3− X2+ X−E =O を満たすとき, X=E または X 2=− E であることを示せ.
2006-10221-0202
配点35点
【2】 t を 1 以上の実数とし, xy 平面上の 2 点 (t ,0) ,( 0, 1t2 ) を通る直線を l t とする.
(1) 直線 l t の方程式を求めよ.
(2) k を 1 以上の定数とする.直線 x= k と直線 l t の交点の y 座標を y ⁡(t ) とおく. t を 1 以上の範囲で動かしたとき, y⁡( t) の取り得る値の範囲を k を用いて表せ.
(3) t を 1 以上の範囲で動かしたとき, lt が通過する領域を x y 平面上に図示せよ.
2006-10221-0203
【3】 自然数 n に対して,関数 f n⁡( x) ( x>0 ) を
f1⁡ (x)= x⁢log⁡ x−x+ 1, fn+ 1⁡ (x) = ∫1x ⁡f n⁡( t)⁢ dt ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.
(1) f2⁡ (x) を求めよ.
(2) f3⁡ (x) を求めよ.
(3) 極限 a n= limx→ ∞⁡ f n(x )x n⁢log ⁡x を求めよ.
(4) (3)で求めた a n に対し,
lim x→ ∞⁡ fn ⁡( x)− an⁢ xn⁢ log⁡x xn =−1 n! ⁢ ∑k= 1n ⁡1 k
となることを示せ.