2006　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】　$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を成分が実数である$2\times 2$行列とし，

$p=a+d\text{，}q=ad-bc$

とおく．また，行列$E\text{，}O$を

$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

とする．

(1)　$X^2-pX+qE=O$であることを証明せよ．

(2)　$X^3-X^2+X-E=\alpha X+\beta E$を満たす実数$\alpha \text{，}\beta$を$p$と$q$を用いて表せ．

(3)　$X$が$X^3-X^2+X-E=O$を満たすとき，$X=E$または$X^2=-E$であることを示せ．

【２】　$t$を$1$以上の実数とし，$xy$平面上の$2$点$(t,0)\text{，}(0,{\displaystyle \frac{1}{t^2}})$を通る直線を$l_t$とする．

(1)　直線$l_t$の方程式を求めよ．

(2)　$k$を$1$以上の定数とする．直線$x=k$と直線$l_t$の交点の$y$座標を$y(t)$とおく．$t$を$1$以上の範囲で動かしたとき，$y(t)$の取り得る値の範囲を$k$を用いて表せ．

(3)　$t$を$1$以上の範囲で動かしたとき，$l_t$が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．

【３】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)\text{（}x>0\text{）}$を

$f_1(x)=x\log x-x+1\text{，}{f}_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{f}_n(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$f_2(x)$を求めよ．

(2)　$f_3(x)$を求めよ．

(3)　極限$a_n=\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f_n(x)}{x^n\log x}}$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a_n$に対し，

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f_n(x)-a_n{x}^n\log x}{x^n}=-\frac{1}{n!}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$

となることを示せ．