2006　埼玉大学　前期(工学部(機械工学科))MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }\{\mathrm{-4}(\log {\cos }^{2}x)\tan x\}dx$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \left\{\frac{(x-1)e^{(x-1)}+x^2+x-2}{\sin (x-1)}\right\}}$

【２】　方程式$|x^2-2x-3|=2x+k$が$3$個以上の解を持つように定数$k\text{（}k$は実数）の範囲を求めよ．

【３】　直線$l:y={\displaystyle \frac{x}{2}}$上の点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{a}{2}})$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$に中心があり$x$軸と接する円は，原点$\mathrm{O}$を通る$x$軸以外の直線$m$と接する．

　$x$軸上の接点$\mathrm{A}$および直線$m$上の接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．

【４】　$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,1,3)\text{，}\mathrm{B}(2,2,1)\text{，}\mathrm{C}(1,3,2)$をとり，原点を$\mathrm{O}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ直線と$xy$平面の交点を点${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}$を結ぶ直線と$xy$平面の交点を点${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．このとき，点${\mathrm{B}}^{\prime }$および点${\mathrm{C}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積を求めよ．

【５】　放物線$y=x^2-2(a+1)x+2a^2-a-3$において$a$の値が変化するとき，放物線の頂点$\mathrm{P}$は曲線$C$を描く．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の方程式を，$x\text{，}y$を用いて表せ．

(2)　直線$y=x$と曲線$C$の交点$\mathrm{Q}$の座標を$(x_1,y_1)$とする．このとき，$(x_1,y_1)$を求めよ．ただし，$x_1>0$とする．

(3)　曲線$C$において，$x$軸との交点$\mathrm{R}(x_2,y_2)$が移動を表す行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& 12\\ 2& 0\end{array}\right)$で点${\mathrm{R}}^{\prime }$に移された．このとき，点${\mathrm{R}}^{\prime }$の座標$(x_3,y_3)$を求めよ．ただし，$x_2>0$とする．

(4)　原点$\mathrm{O}$を中心に点$\mathrm{Q}$を時計回りに$45°$回転して${\mathrm{Q}}^{\prime }$に移動させた．このとき，移動を表す行列$B$および点${\mathrm{Q}}^{\prime }$の座標$(x_4,y_4)$を求めよ．

【６】　曲線$C:2x^2-2xy+y^2=4$があり，この曲線で囲まれる面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形を図示せよ．

(2)　面積$S$を求めよ．

【７】　一辺の長さを$1$とする正六角形を描き，次にこの正六角形に内接する円を描く．さらにその円に内接する正六角形を描く．この作図を限りなく繰り返すとき，次の問いに答えよ．

(1)　描いた正六角形の周の長さの総和$L_{\mathrm{A}}$および正六角形の面積の総和$S_{\mathrm{A}}$を求めよ．

(2)　描いた円の周の長さの総和$L_{\mathrm{B}}$および円の面積の総和$S_{\mathrm{B}}$を求めよ．