2006　千葉大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=5\sin A\text{，}\mathrm{CA}=3$であるとする．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}A=60°$のとき，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．さらに$\mathrm{E}$を辺$\mathrm{BC}$上の点とする．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　線分$\mathrm{DE}$が$▵\mathrm{ABC}$の面積を二等分するとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABE}$と$▵\mathrm{DEC}$の面積の積$T$を最大にする線分$\mathrm{BE}$の長さと，そのときの$T$の値を求めよ．

【３】　実数$a$に対し，$2$次関数$f(x)=x^2-ax-a^2+5a$を考える．

(1)　方程式$f(x)$が異なる$2$つの実数解を持つような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフが$2$点$(\alpha ,0)\text{，}(\beta ,0)$を通り，$1\leqq \alpha <\beta \leqq 3$となるような$a$の範囲を求めよ．

【４】　$1$から$10$までの整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中からカードを$3$枚同時に取り出す．取り出された$3$枚のカードに書かれた$3$つの整数のうち，最大のものを除いた残りの$2$つの整数の和を$X$とする．

(1)　$X=3$である確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

【５】　関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{（}x\leqq 1\text{）}\\ 1& \text{（}x>1\text{）}\end{array}$

また$g(x)=-x^2+ax+b$とする．$y=g(x)$のグラフが$y=f(x)$のグラフと$2$点で接するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

【６】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$

とする．辺$\mathrm{AB}$上に点${\mathrm{P}}_1$をとる．ただし${\mathrm{P}}_1$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なるとする．${\mathrm{P}}_1$から辺$\mathrm{OB}$に垂線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$を下ろす．次に，${\mathrm{Q}}_1$から辺$\mathrm{OA}$に垂線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$を下ろす．さらに，${\mathrm{R}}_1$から辺$\mathrm{AB}$に垂線${\mathrm{R}}_1{\mathrm{P}}_2$を下ろす．以下，同様の操作を続けて，点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{，}{\mathrm{R}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を定める．$\overrightarrow{{\mathrm{AP}}_n}=t_n(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$により$t_n\text{（}0<t_n<1\text{）}$を定める．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{BQ}}_1}$を$t_1$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$t_2$を$t_1$を用いて表せ．

(3)　$t_n$を$t_1$と$n$を用いて表せ．

(4)　${\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_2$となるような$t_1$の値を求めよ．

(5)　${\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_2$のとき，$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$の面積を求めよ．

【７】　$a\ne 0\text{，}b\ne 0$とする．$f(x)=a{\cos }^{2}x+b\cos x+c$について，$y=f(x)$のグラフが$x$軸と原点で接しているとする．

(1)　$y=f(x)$のグラフが$x$軸と接する点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　さらに${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)dx=0$が成り立っているとき，$f(x)=0\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

【８】　$a\text{，}t$を実数とするとき，座標平面において，

$x^2+y^2-4-t(2x+2y-a)=0$

で定義される図形$C$を考える．

(1)　すべての$t$に対して$C$が円であるような$a$の範囲を求めよ．ただし，点は円と見なさないものとする．

(2)　$a=4$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$C$が通過してできる領域を求め，図示せよ．

(3)　$a=6$とする．$t$が$t>0$であって，かつ$C$が円であるような範囲を動くとき，$C$が通過してできる領域を求め，図示せよ．

【９】　$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$を以下のように定義する．

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=|a_n-1|+a_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　すべての自然数$n$に対し$a_n\ne 0$となるような$a$の範囲を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学I，A

　教育学部　自然教育・技術教育系，情報教育系　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科　【１】，【３】，【４】，【５】

　法経学部　【１】，【３】，【４】，【５】

　園芸学部　【２】，【３】，【４】，【５】

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】

　工学部Aコース　都市環境システム学科，デザイン工学科

　　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】

　理学部　物理学科，化学科　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

薬学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

　工学部Aコース　電子機械工学科，メディカルシステム工学科，

　共生応用化学科，情報画像学科

　　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

　理学部　数学・情報数理学科

　　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】，【９】