2006　千葉大学　先進科学プログラム入学者選考課題MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$x$に関する方程式${(x+ai)}^4-{(x-ai)}^4=0$の解をすべて求めなさい．ただし，$a$は正の定数である．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　実数$x\text{，}y$は等式${(x+yi)}^2=1+\sqrt{3}i$を満たすとする．$x^2+y^2$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　関数$y=f(x)=x^4+3x^3-3x^2$の$x=1$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．

　$y=f(x)$と$y=g(x)$の$x=1$以外の交点をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$x\text{，}y$は等式$x^2+3y^2=1$を満たすとする．

(a)　$xy$の最大値，および最大値を与える$x\text{，}y$を求めなさい．

(b)　$x+y$の最大値，および最大値を与える$x\text{，}y$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，関数$f(x)=\sqrt{3(1-\cos 2x)}+\sqrt{2}\cos x$の最大値と最小値を求めなさい．

【２】　下図のような一辺の長さが$2\sqrt{3}$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円$C_0$の半径$r_0$および面積$S_0$を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$内に，円$C_0$および辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$に接する円$C_1$を作る．この円の半径$r_1$および面積$S_1$を求めなさい．

(3)　一般に(2)と同様にして，円$C_n$および辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$に接する円$C_{n+1}$を繰り返し作る$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）．}$円$C_n$の面積を$S_n$とするとき，面積の総和${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{S}_n$を求めなさい．

【３】　曲線$y=\sqrt{3}{x}^3\text{，}x$軸，および円$x^2+y^2=\mathrm{４}$により囲まれた図形$\mathrm{OAB}$の面積を求めなさい．